섭동 이론

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 수학과 물리학에서 섭동 이론(틀:Lang, 攝動理論) 또는 미동 이론(微動理論)은 해석적으로 풀 수 없는 문제의 해를 매우 작다고 여길 수 있는 매개변수들의 테일러 급수로 나타내는 이론이다. 매개변수들이 매우 작으므로, 급수의 유한개의 항을 계산하여 근사적인 해를 얻을 수 있다.

이체 문제에서의 섭동 이론

이체 문제의 해는 비네 방정식으로 나타내어진다.

$u^{″}+u=-F(u)L^2/\mu u^2$.

만유인력의 경우, $F(u)=-GMm{u}^2$이다. 이 경우에는 비네 방정식은 다음과 같다.

$u^{″}+u=GMm{L}^2/\mu =k$.

그 해는

$u(\theta )=k(1-ϵ\cos (\theta -{\theta }_0))$

임을 쉽게 알 수 있다. 여기서 $ϵ$과 ${\theta }_0$는 적분 상수이다.

이제, 만유인력에 작은 퍼텐셜이 더해진다고 하자. 예를 들어, 다음과 같은 퍼텐셜을 생각하자. (이 퍼텐셜은 일반 상대성 이론에 등장한다.)

$F(u)L^2/\mu =k{u}^2+\alpha u^4$.

이 경우에는 비네 방정식은 다음과 같다.

$u^{″}+u=k+\alpha u^2$.

이제는 해를 해석적으로 풀기 더 힘들다. 그러나 $\alpha$가 매우 작다면 그 해가 만유인력에 대한 해에 가까울 것이라고 추측할 수 있다. 이러한 가설 풀이 아래 다음과 같이 놓자.

$u_0(\theta )=k(1-ϵ\cos \theta )$

$u(\theta )=u_0(\theta )+\alpha k{u}_1(\theta )+{\alpha }^2{k}^2{u}_2(\theta )+\cdots$.

(편의상 ${\theta }_0=0$으로 좌표를 잡자.) 이를 다시 비네 방정식에 대입하면 다음과 같다.

${u_1}^{″}+u_1=u_0^2/k=k(1+\frac{1}{2}{ϵ}^2-2ϵ\cos \theta +\frac{1}{2}{ϵ}^2\cos 2\theta )$.

따라서

$u_1/k=1+\frac{1}{2}{ϵ}^2+\frac{1}{2}ϵ-ϵ\theta \sin \theta -\frac{1}{6}{ϵ}^2\cos 2\theta$

이다. 마찬가지로, $u_2$, $u_3$ 등도 계산할 수 있다.

이 경우,

$u_0+\alpha k^2{u}_1=-kϵ(\cos \theta +\alpha k\theta \sin \theta )+\cdots \approx -kϵ\cos (\theta (1-\alpha k))+\cdots$

이므로, 극지점 세차(틀:Lang)는 공전 주기당 약 $2\pi \alpha k$ 라디안인 것을 알 수 있다.

양자역학에서의 섭동 이론

틀:본문 양자역학에는 여러 종류의 섭동 이론이 쓰인다. 흔히 쓰이는 레일리-슈뢰딩거 섭동 이론과 다이슨 급수 이외에도, 보른 급수나 WKB 급수도 섭동 이론의 일종이다. 이 밖에도, 특수한 경우에 k·p 섭동 이론이나 묄러-플레셋 섭동 이론 등이 쓰인다.

참고 문헌

• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
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같이 보기

• 콜모고로프-아르놀트-모저 정리