마티외 군

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 마티외 군(Mathieu群, 틀:Llang) $M_{11}$, $M_{12}$, $M_{22}$, $M_{23}$, $M_{24}$는 각각 11개·12개·22개·23개·24개의 원소들 위의 대칭군의 부분군으로 나타낼 수 있는 5개의 산재군이다.

정의

마티외 군 $M_{11}$, $M_{12}$, $M_{22}$, $M_{23}$, $M_{24}$는 5개의 유한 단순군이다. $M_k$는 각각 대칭군 $\mathrm{Sym}(k)$의 부분군으로 나타낼 수 있으며, 구체적으로 다음과 같이 작도할 수 있다.

슈타이너 계를 통한 정의

유한체 ${𝔽}_{p^n}$ 위의 아핀 평면 ${𝔸}_{{𝔽}_{p^n}}^2$에서, 2개의 직선은 유일한 점을 결정하므로, 이는 슈타이너 계 $S(2,p^n,p^{2n})$를 이룬다. 유한체 ${𝔽}_3$ 위의 아핀 평면은 슈타이너 계 $S(2,3,9)$를 이루며, 이 슈타이너 계는 유일하다. $S(2,3,9)$에 점들을 추가하여, $S(3,4,10)$, $S(4,5,11)$, $S(5,6,12)$를 만들 수 있다. 이들 역시 동형에 대하여 유일하다.

슈타이너 계 $S(5,6,12)$의 자기 동형군은 대칭군 $\mathrm{Sym}(12)$의 부분군이며, 이는 $M_{12}$와 같다. 즉, 마티외 군 $M_{12}$ 크기 12의 집합 $\{1,2,\dots ,12\}$에 작용하며, 이 작용은 5-정추이적(틀:Llang)이다. 따라서, $k=1,2,3,4,5$에 대하여, 점들의 $k$-튜플에 대한 안정자군은 튜플의 선택에 관계없이 서로 동형이다. 이로서 6개의 군

$M_{12-k}(k=0,1,2,3,4,5)$

을 정의할 수 있으며, 마지막 군 $M_7$은 자명군이다.

슈타이너 계 $S(5,8,24)$ 역시 유일하며, 이를 비트 디자인(틀:Llang)이라고 한다. 이 슈타이너 계의 자기 동형군은 마티외 군 $M_{24}$와 동형이며, $M_{24}$의 크기 24의 집합 위의 작용은 5-추이적(틀:Llang)이지만 5-정추이적이지 않다. 위와 마찬가지로, 1~5개의 점들에 대한 안정자군을 취하여, 6개의 군

$M_{24-k}(k=0,1,2,3,4,5)$

을 정의할 수 있다. 작용이 정추이적이지 않으므로, 마지막 군 $M_{19}$는 자명군이 아니다.

이 군들 가운데, 오직 $M_{24}$, $M_{23}$, $M_{22}$, $M_{21}$, $M_{12}$, $M_{11}$만이 단순군이고, 이 가운데 $M_{21}$은 예외적인 동형으로 인하여 산재군이 아니다.

순열군으로서의 표현

체 $K$ 위의 사영 특수선형군 ${\mathrm{PSL}}_2(K)$는 $K$ 위의 사영 직선 $K\bigsqcup \{\mathrm{\infty }\}$ 위의 분수선형변환(뫼비우스 변환)들의 군과 같다.

M₁₂

크기 144×660의 마티외 군 $M_{12}$는 크기 660의 사영 특수선형군 ${\mathrm{PSL}}_2({𝔽}_{11})$을 부분군으로 가지며, 이는 극대 부분군이다. ${\mathrm{PSL}}_2({𝔽}_{11})$를 사영 직선 ${\mathbb{P}}_{{𝔽}_{11}}^1$ 위의 순열군으로 나타내자. 그렇다면, $M_{12}\setminus {\mathrm{PSL}}_2({𝔽}_{11})$에 속하는 임의의 한 원소만을 제시하면, 이로부터 $M_{12}$가 생성된다. 이러한 원소의 예로는 다음이 있다.

• (0123456789A)
• (1A)(25)(37)(48)(69)
• (26A7)(3945)

여기서

${\mathbb{P}}_{{𝔽}_{11}}^1=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\mathrm{A},\mathrm{\infty }\}$

이다.

M₂₄

크기가 40320×6072인 군 $M_{24}$는 크기가 6072인 부분군 ${\mathrm{PSL}}_2({𝔽}_{23})$을 가지며, 이는 극대 부분군이다. 따라서, 마찬가지로 $M_{24}\setminus {\mathrm{PSL}}_2({𝔽}_{23})$에 속하는 임의의 원소를 제시하면 $M_{24}$가 완전히 결정된다. 이러한 원소의 예로는 다음이 있다.

• (0123456789ABCDEFGHIJKLM)
• (0∞)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI)
• (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF)

여기서

${\mathbb{P}}_{{𝔽}_{23}}^1=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F},\mathrm{G},\mathrm{H},\mathrm{I},\mathrm{J},\mathrm{K},\mathrm{L},\mathrm{M},\mathrm{\infty }\}$

이다.

이진 골레 부호로의 작도

이진 골레 부호는 24차원 벡터 공간 ${𝔽}_2^{24}$의 특별한 12차원 부분 공간이다. 이진 골레 부호의 자기 동형군은 마티외 군 $M_{24}$와 동형이다.

이진 골레 부호는 12비트의 정보를 24비트의 부호에 저장한다. 12개의 비트 1로 구성된 부호(틀:Llang)의 안정자군은 마티외 군 $M_{12}$와 동형이다.

성질

마티외 군들의 크기와 성질은 다음과 같다.

군	크기	성질
M24	48·20·21·22·23·24	5-추이군, 단순군
M23	48·20·21·22·23	4-추이군, 단순군
M22	48·20·21·22	3-추이군, 단순군
M21 = PSL3(𝔽4)	48·20·21	2-추이군, 단순군
M20	48·20	단순군이 아님
M19	48	단순군이 아님
M12	8·9·10·11·12	5-정추이군, 단순군
M11	8·9·10·11	4-정추이군, 단순군
M10	8·9·10	3-정추이군. 단순군이 아님
M9 = PSU3(𝔽4/𝔽2)	8·9	2-정추이군. 단순군이 아님
M8 = Q8	8	사원수군. 1-정추이군. 단순군이 아님
M7 = 1	1	자명군

마티외 군 $M_{19}$는 구체적으로 다음과 같은 꼴의 행렬군이다.틀:Rp

$\{\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ b& a^{-1}& 0\\ c& 0& 1\end{array}\right):a\in {𝔽}_4^{\times },b,c\in {𝔽}_4\}$

다중 추이군

임의의 유한군 $G$에 대하여, 순환군 $\mathrm{Sym}(n)$은 항상 $n$-정추이군(틀:Llang)이며, 교대군 $\mathrm{Alt}(n+2)$ 역시 $n$-정추이군이다.

• 모든 6-추이군은 순환군이나 교대군이다.
• 순환군이나 교대군이 아닌 유한군 가운데, 5-추이군인 것은 $M_{24}$와 $M_{12}$밖에 없으며, 이 가운데 $M_{12}$만이 5-정추이군이다.
• 순환군이나 교대군이 아닌 유한군 가운데, 4-추이군이지만 5-추이군이 아닌 것은 $M_{23}$과 $M_{11}$밖에 없으며, 이 가운데 $M_{11}$만이 4-정추이군이다.

역사

프랑스의 수학자 에밀 마티외(틀:Llang)가 1861년 논문에서 $M_{12}$틀:Rp와 $M_{24}$틀:Rp를 최초로 언급하였고, 이후 1873년에 이들 두 군에 대한 추가 성질들을 제시하였다.

그러나 마티외가 제시한 두 군이 실재하는지, 이들이 교대군과 동형이 아닌지는 이후 수십 년 동안 논란의 대상이었다. 1898년에 미국의 수학자 조지 에이브럼 밀러(틀:Llang, 1863~1951)는 $M_{24}$가 존재하지 않는다는 "증명"을 발표하였으나, 이후 1900년에 자신이 "증명"이 오류였음을 시인하였다.

1938년에 에른스트 비트(틀:Llang)가 마티외 군들을 슈타이너 계의 자기 동형군으로 나타내었고, 마티외 군에 대한 논란을 종식시켰다.

마티외 군들은 산재군들 가운데 최초로 발견된 것이었으며, 1965년에 얀코 군 $J_1$이 발견되기 이전에 알려진 유일하게 알려진 산재군이었다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
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• 틀:웹 인용
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