리 대수 근기

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 리 대수 근기(Lie代數根基, 틀:Llang)는 리 대수의 최대 가해 아이디얼이다.

정의

가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$를 생각하자. 그렇다면, 그 아이디얼(틀:Llang)은 부분 리 대수 $𝔥$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.

$[𝔤,𝔥]\subseteq 𝔥$

만약 $𝔤$의 아이디얼 가운데, 가해 리 대수를 이루는 것들의 (부분 집합 관계에 대한) 부분 순서 집합이 최대 원소를 갖는다면, 이를 $𝔤$의 근기라고 하며,틀:Rp

$\mathrm{rad}(ℊ)$

로 표기한다.

성질

존재

정의에 따라, 리 대수의 근기는 만약 존재한다면 유일하다.

만약 $𝔤$가 $K$-뇌터 가군일 경우, $𝔤$의 근기가 존재한다.

증명:

다음 두 조건을 증명하면, 모든 가해 아이디얼들의 합이 근기가 되므로, 근기가 (자명하게) 존재하게 된다.

• ㈎ $𝔤$의 두 가해 아이디얼의 합은 가해 아이디얼이다.
• ㈏ $𝔤$의 임의의 부분 가군들의 족 $ℐ$에 대하여, $\sum ℐ=\sum {ℐ}^{\prime }$가 되는 유한 집합 ${ℐ}^{\prime }\subseteq ℐ$가 존재한다.

㈎의 증명: $𝔤$의 두 가해 아이디얼이 주어졌다고 하자.

$𝔞,𝔟\subseteq 𝔤$

그렇다면, $𝔞+𝔟$는 역시 $𝔤$의 아이디얼이다.

또한, 가해 리 대수의 몫과, 가해 리 대수의 가해 리 대수에 대한 확대는 역시 가해 리 대수이다. 짧은 완전열

$0\to 𝔞\to 𝔞+𝔟\to \frac{𝔞+𝔟}{𝔞}\cong \frac{𝔟}{𝔞\cap 𝔟}\to 0$

에 의하여, $𝔞+𝔟$는 가해 리 대수 $𝔟$의 몫 $𝔟/(𝔞\cap 𝔟)$의, 가해 리 대수 $𝔞$에 대한 확대이므로, 역시 가해 리 대수이다.

㈏의 증명: $𝔤$의 $K$-부분 가군들의 족

$ℐ\subseteq \mathrm{Pow}(𝔤)$

이 주어졌다고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 유한 부분 집합

${ℐ}^{\prime }\subseteq ℐ$

$|{ℐ}^{\prime }|<{\mathrm{\aleph }}_0$

에 대하여

$\sum {ℐ}^{\prime }⊊\sum ℐ$

라고 가정하자.

그렇다면, 선택 공리를 사용하여, $ℐ$의 원소들의 열 ${𝔞}_0,{𝔞}_1,\dots$을 다음과 같이 재귀적으로 고르자.

임의의 $i\in \mathbb{N}$에 대하여, 귀류법 가정에 따라 $\sum _{j<i}{𝔞}_j⊊\sum ℐ$이므로, $\{𝔟\in ℐ:𝔟\subseteq ̸\sum _{j<i}{𝔞}_j\}\ne \varnothing$이다. 선택 공리를 사용하여, ${𝔞}_i\in \{𝔟\in ℐ:𝔟\subseteq ̸\sum _{j<i}{𝔞}_j\}$를 임의로 고른다.

그렇다면, 구성에 따라

$0⊊{𝔞}_0⊊{𝔞}_0+{𝔞}_1⊊{𝔞}_0+{𝔞}_1+{𝔞}_2⊊\cdots$

이다. 이는 $𝔤$가 뇌터 가군이라는 가정에 모순된다.

특히, 체 위의 유한 차원 리 대수는 항상 근기를 갖는다.틀:Rp

관련 개념과의 관계

체 $K$ 위의 유한 차원 리 대수 $𝔤$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $𝔤$의 근기가 0이다.
• $𝔤$는 반단순 리 대수이다.

체 $K$ 위의 유한 차원 리 대수에 대하여, 만약

$\mathrm{rad}𝔤=\mathrm{Z}(𝔤)$

라면, $𝔤$를 가약 리 대수(可約Lie代數, 틀:Llang)라고 한다.

예

가환환 $K$ 위의 가해 리 대수 $𝔤$의 근기는 (항상 존재하며) $𝔤$ 전체이다.