리 대수 반직접합

틀:위키데이터 속성 추적 리 대수 이론에서, 반직접합(半直接合, 틀:Llang)은 두 리 대수의 직합 위에 정의되는 리 대수 구조이다. 이는 리 군의 반직접곱의 무한소 형태로 생각할 수 있다. 추상적으로, 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• $K$ 위의 두 리 대수 $𝔫$, $𝔥$
• 리 대수 준동형 $\psi :𝔥\to 𝔡𝔢𝔯(𝔫)$
  • 여기서 $𝔡𝔢𝔯(-)$는 미분 리 대수이다.

그렇다면, $K$-가군 $𝔫{\oplus }_K𝔥$ 위에 다음과 같은 리 대수 구조를 정의하자.

$[h,n]=\psi (h)n\mathrm{\forall }h\in 𝔥,n\in 𝔫$

$[h,h^{\prime }]=[h,h^{\prime }{]}_{𝔥}\mathrm{\forall }h,h^{\prime }\in 𝔥$

$[n,n^{\prime }]=[n,n^{\prime }{]}_{𝔫}\mathrm{\forall }n,n^{\prime }\in 𝔫$

이를 $𝔫$과 $𝔥$의 $\psi$에 대한 반직접합이라고 하며, $𝔫{\oplus }_{\psi }𝔥$로 표기한다. 만약 $\psi$가 상수 함수 0이라면, 이는 리 대수의 직합과 같다.

성질

군의 반직접곱과 마찬가지로, 리 대수의 반직접합에 대하여 분할 완전열

$0\to 𝔫\to 𝔫{\oplus }_{\psi }𝔥\to 𝔥\to 0$

이 존재한다. 즉, $𝔫$은 $𝔥{\oplus }_{\psi }𝔫$의 리 대수 아이디얼을 이룬다.

반대로, 리 대수의 짧은 완전열

$0\to 𝔫\to 𝔤\stackrel{\pi }{\to }𝔥\to 0$

가 주어졌을 때, 만약 이 완전열이 오른쪽 분할 완전열이라면 (즉, $\pi \circ \sigma ={\mathrm{id}}_{𝔥}$가 되는 리 대수 준동형 $\sigma :𝔥\to 𝔤$가 존재한다면), 이를 통해

$𝔤=𝔫{\oplus }_{\psi }𝔥$

로 표현할 수 있다.

리 군과의 관계

두 리 군 $H$, $N$이 주어졌으며, $H$가 $N$ 위에 매끄럽게 작용한다고 하자.

$H\times N\to N$

이는 자연스럽게 리 대수 준동형

$\psi :𝔩𝔦𝔢(H)\to 𝔡𝔢𝔯(𝔩𝔦𝔢(N))$

을 정의한다.

그렇다면, 이를 통해 반직접곱 리 군 $N⋊H$를 정의할 수 있다. 이 경우, 표준적으로 다음과 같은 리 대수 동형이 존재한다.

$𝔩𝔦𝔢(H){\oplus }_{\psi }𝔩𝔦𝔢(N)\cong 𝔩𝔦𝔢(N⋊H)$

즉, 반직접곱의 리 대수는 리 대수의 반직접합이다.

참고 문헌

• 틀:저널 인용틀:깨진 링크

외부 링크

• 틀:Nlab