랭글랜즈 쌍대군

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 랭글랜즈 쌍대군(틀:Llang)은 주어진 군에서 근과 쌍대근(coroot)을 맞바꾼 군이다.

정의

가약 리 군 $G$ (즉, 리 대수가 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합인 경우)가 주어졌다고 하자. 이러한 리 군은 근 데이터(틀:Llang) $(X^{*},\mathrm{\Phi },X_{*},{\mathrm{\Phi }}^{\vee })$로 (동형사상을 무시하면) 유일하게 정의된다. 여기서

• $X^{*}$는 $G$의 극대 원환면의 지표들의 격자이다. (즉, 극대 원환면의 폰트랴긴 쌍대군이다.) 이를 $G$의 무게 격자(weight lattice)라고 한다.
• $\mathrm{\Phi }\subset X^{*}$는 리 대수 $𝔤$의 근계이다.
• $X_{*}$는 $X^{*}$의 쌍대 격자다. 이를 $G$의 쌍대 무게 격자(coweight lattice)라고 한다.
• ${\mathrm{\Phi }}^{\vee }\subset X_{*}$는 $\mathrm{\Phi }$의 쌍대근계(coroot system)이다. 즉, $\alpha \in \mathrm{\Phi }$에 대해 ${\alpha }^{\vee }=2\alpha /⟨\alpha ,\alpha ⟩$이다.

근 데이터는 가약 리 군을 심지어 유한 아벨 부분군까지 정확히 나타내므로, 딘킨 도표보다 더 많은 정보를 담고 있다.

이러한 근 데이터가 주어졌다면, 군 $G$의 랭글랜즈 쌍대군 $G^{\vee }$는 근 데이터에서 무게 격자와 쌍대 무게 격자를, 근계와 쌍대근계를 맞바꾼 가약 리 군이다. 즉, $G^{\vee }$의 근 데이터는

$(X_{*},{\mathrm{\Phi }}^{\vee },X^{*},\mathrm{\Phi })$

이다.

복소수체 말고도, 다른 체에 대한 대수군의 경우도 랭글랜즈 쌍대군을 정의할 수 있다.

예

원환면

콤팩트 아벨 리 군 $G$의 경우, 이는 항상 벡터 공간을 격자로 나눈 꼴

$G=V/\mathrm{\Lambda }$

로 나타낼 수 있다. 이 경우, 그 랭글랜즈 쌍대군은

$G^{\vee }=V^{*}/{\mathrm{\Lambda }}^{*}$

이다. 이는 폰트랴긴 쌍대군과 전혀 다름에 주의하자. (이 경우, $G$의 폰트랴긴 쌍대군은 ${\mathrm{\Lambda }}^{*}$이다.)

단순 연결 콤팩트 리 군

단순 연결 콤팩트 리 군의 경우, 랭글랜즈 쌍대군은 원래 군과 비슷하나, 그 유한 아벨 군에 대한 몫이 다를 수 있다. 특히, 리 군의 범피복 공간은 그 리 군의 중심을 없앤 형태와 쌍대이다. 예외적으로, B_n과 C_n이 서로 쌍대이다.

구체적으로 다음과 같다.

단순 연결 콤팩트 리 군의 랭글랜즈 쌍대군

군	쌍대군
$\mathrm{SU}(mn)/(\mathbb{Z}/m)$	$\mathrm{SU}(mn)/(\mathbb{Z}/n)$
$\mathrm{Spin}(2n+1)$	$\mathrm{USp}(2n)/(\mathbb{Z}/2)$
$\mathrm{SO}(2n+1)$	$\mathrm{USp}(2n)$
$\mathrm{SO}(2n)$	$\mathrm{SO}(2n)$
$\mathrm{Spin}(2n)$	$\mathrm{PSO}(2n)$
$\mathrm{Spin}(8n)/(\mathbb{Z}/2{)}_1$	$\mathrm{Spin}(8n)/(\mathbb{Z}/2{)}_1$
$\mathrm{Spin}(8n)/(\mathbb{Z}/2{)}_2$	$\mathrm{Spin}(8n)/(\mathbb{Z}/2{)}_2$
$\mathrm{Spin}(8n+4)/(\mathbb{Z}/2{)}_1$	$\mathrm{Spin}(8n+4)/(\mathbb{Z}/2{)}_2$
$G_2$	$G_2$
$F_4$	$F_4$
$E_6$	$E_6/(\mathbb{Z}/3)$
$E_7$	$E_7/(\mathbb{Z}/2)$
$E_8$	$E_8$

위 표에서, $\mathrm{Spin}(4n)$의 중심은 $(\mathbb{Z}/2)\times (\mathbb{Z}/2)$이므로, 이를 각각 $(\mathbb{Z}/2{)}_1$, $(\mathbb{Z}/2{)}_2$로 표기하였다.

응용

랭글랜즈 쌍대군은 갈루아 군과 보형 형식을 잇는 랭글랜즈 프로그램에 중요한 역할을 한다.

이론물리학에서, 랭글랜즈 쌍대군은 전기-자기 이중성에 등장한다. 구체적으로, 전기-자기 이중성에서 (전기) 게이지 군에 해당하는 자기 게이지 군은 랭글랜즈 쌍대군이다. 이를 통해 물리학으로 랭글랜즈 프로그램을 해석할 수 있다. 이 사실은 안톤 카푸스틴(틀:Llang)과 에드워드 위튼이 발견하였다.

외부 링크

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