가약군

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학에서 가약군(可約群, 틀:Llang)은 그 군 표현론이 특별히 규칙적인 대수군이다. 표수가 0인 경우, 기약군의 모든 표현은 기약 표현으로 완전히 분해된다.

정의

대수적으로 닫힌 체 $K$에 대한 선형 대수군 $G$가 주어졌다고 하자. $G$의 근기(틀:Llang) $\sqrt{G}$는 단위원을 포함하는 연결 성분 $G_0$의 최대 연결 가해 부분군이다. 근기는 항상 존재하며, 항상 닫힌 부분군이다. 만약 $G$의 근기가 자명군이라면, $G$를 반단순 대수군(틀:Llang)이라고 한다.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $G$를 가약군이라고 한다.

• $G$의 근기 속에서, 1이 아닌 모든 원소들이 멱일원이 아니다.
• $G_0$는 반단순 대수군과 대수 원환면(틀:Llang)의 곱이며, 이 두 군은 $G_0$의 닫힌 부분군을 이룬다.

성질

만약 대수적으로 닫힌 체에 대한 대수군$G$의 모든 $K$-벡터 공간 표현이 기약 표현들로 유일하게 분해된다면, $G$는 기약군이다. 그 역은 표수 0에서 성립하지만, 양의 표수에서는 성립하지 않는다.

만약 $K$가 표수가 0인 대수적으로 닫힌 체라면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $G$는 가약군이다.
• $G$의 모든 $K$-벡터 공간 표현은 기약 표현들로 유일하게 분해된다.
• $G$의 리 대수 $𝔤$가 가약 리 대수이다. 즉, 딸림표현 $𝔤$는 기약 표현들로 유일하게 분해된다.

복소수체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $G$는 복소 가약군이다.
• $G$의 단위원의 연결 성분 $G_0$은 콤팩트 연결 실수 리 군의 복소화이다.

예

대수적으로 닫힌 체 $K$에 대하여, 다음과 같은 군들이 기약군이다.

• 곱셈군 $K^{\times }=K\setminus \{0\}$
• 대수 원환면 $(K^{\times }{)}^m$
• 일반선형군 $\mathrm{GL}(n;K)$. 이는 반단순군이 아니다.
• 특수선형군 $\mathrm{SL}(n;K)$. 이는 반단순군이다.
• $K$-이차 형식 $Q$에 대하여, 특수직교군 $\mathrm{SO}(Q)$.

반면, 다음과 같은 군들은 가약군이 아니다.

• 아벨 다양체는 선형 대수군이 아니므로 가약군이 아니다. 특수한 경우로, 덧셈군 $K$나 타원 곡선이 있다.

같이 보기

• 안정점

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
  • 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:웹 인용