디외도네 환

틀:위키데이터 속성 추적 군 스킴 이론에서, 디외도네 환(틀:Llang)은 군 스킴의 분류에 사용되는 환이다. 디외도네 환 위의 특정 가군들의 범주는 특정 군 스킴들의 범주의 반대 범주와 동치이다.

정의

표수 $p>0$의 완전체 $K$ 위의 $p$-비트 벡터 환 ${\mathrm{WittVector}}_p(K)$을 생각하자. $K$의 디외도네 환 $\mathrm{Dieu}(K)$은 ${\mathrm{WittVector}}_p(K)$와 두 형식적 변수 $F$, $V$로 생성되며, 다음 관계들을 만족시키는 환이다.

• $FV=VF=p$
• $Fw=\sigma (w)F\mathrm{\forall }w\in {\mathrm{WittVector}}_p(K)$
• $wV=V\sigma (w)\mathrm{\forall }w\in {\mathrm{WittVector}}_p(K)$

여기서

$\sigma :{\mathrm{WittVector}}_p(K)\to {\mathrm{WittVector}}_p(K)$

$\sigma :(w_0,w_1,w_2,\dots )\mapsto (w_0^p,w_1^p,w_2^p,\dots )$

는 $K$의 프로베니우스 자기 동형에 의하여 생성되는 $p$-비트 벡터 환의 자기 동형이다.

성질

비트 환 위의 작용

표수 $p>0$의 완전체 $K$ 위의 디외도네 군 $\mathrm{Dieu}(K)$는 $p$진 비트 벡터 환 ${\mathrm{WittVector}}_p(K)$ 위에 다음과 같이 작용한다.

• $V:(a_1,a_p,a_{p^2},\dots ,a_{p^n})\mapsto (a_1,a_p,a_{p^2},\dots )$는 비트 벡터 위의 베르시붕(틀:Llang)이다.
• $F:(a_1,a_p,a_{p^2},\dots )\mapsto (a_1^p,a_p^2,a_{p^2},\dots )$는 프로베니우스 사상이다.

디외도네 이론

양의 표수의 완전체 $K$에 대하여, 다음 두 범주 사이에 범주의 동치가 존재한다.

$𝒞\simeq {𝒟}^{\mathrm{op}}$

여기서

• $𝒞$는 $K$-군 스킴 $G\to \mathrm{Spec}K$가운데, 스킴 사상으로서 유한 사상이며, 아벨 군 스킴이며, 또 p-군인 것들의 아벨 범주이다.
• $𝒟$는 디외도네 환 위의 왼쪽 가군 가운데, ${\mathrm{WittVector}}_p(K)$-가군으로서 길이가 유한한 것들의 아벨 범주이다.

구체적으로, 군 스킴 $G\in 𝒞$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응하는 디외도네 환 위의 가군 $D(G)$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$D(G)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underrightarrow{\lim }}\mathrm{hom}(G,{𝕎}_{p,n}(K))$

여기서 ${𝕎}_{p,n}(K)$는 길이 $n$의 $p$-비트 벡터의 군 스킴이며, 위의 귀납적 극한은 포함 사상

${𝕎}_{p,n}(K)\to {𝕎}_{p,n+1}(K)$

을 통해 취한 것이다. 이는 디외도네 군의 비트 환 위의 작용에 의하여 왼쪽 디외도네 가군을 이룬다.

이 대응 사상 아래 다음이 성립한다. $G$에 대응하는 디외도네 가군이 $M$이라면,

$|G|=p^{{\mathrm{length}}_{W}M}$

여기서 좌변은 $G$의 원소의 수이며, 우변은 가군의 길이이다.

외부 링크

• 틀:Nlab
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• 틀:웹 인용
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