p-군

군론에서 p-군(틀:Llang)은 모든 원소의 위수가 소수 $p$ 의 거듭제곱인 군이다.

정의

$p$ 가 소수라 하자. $p$ -군은 모든 원소의 위수가 소수 $p$ 의 거듭제곱인 군이다. 즉, 군 $G$ 의 모든 원소 $g \in G$ 에 대하여,

g^{p^{n (g)}} = 1

인 $n (g) \in ℕ$ 이 존재할 경우, $G$ 를 $p$ -군이라고 한다.

유한 $p$ -군의 크기는 항상 $p$ 의 거듭제곱이다. 반대로, 크기가 $p$ 의 거듭제곱인 유한군은 항상 $p$ -군이다.

번사이드 정리에 따라, 유한 $p$ -군은 항상 가해군이다.

자명군이 아닌 유한 $p$ -군은 항상 자명하지 않은 중심을 갖는다.

유한 $p$ -군은 크기 $p^{n}$ 에 따라 분류할 수 있다. $n \leq 6$ 인 경우는 모두 분류되었고, $n \geq 7$ 인 경우는 가짓수가 매우 많아 나열하기 힘들다.