닫힌 작용소

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 닫힌 작용소(틀:Llang)는 그 그래프가 닫힌집합인, 조밀 집합 위에 정의된 선형 변환이다. 닫힐 수 있는 작용소(틀:Llang)는 그 그래프의 폐포를 취하여 닫힌 작용소로 만들 수 있는 작용소이다. 이 경우, 에르미트 수반 등의 연산이 잘 정의된다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$
• $𝕂$-위상 벡터 공간 $E$
• 하우스도르프 $𝕂$-위상 벡터 공간 $F$
• $E$의 조밀 $𝕂$-부분 벡터 공간 $D\subseteq E$
• $𝕂$-선형 변환 $A:D\to F$

그렇다면, $A$의 그래프

$\mathrm{graph}A=\{(x,Ax):x\in D\}\subseteq E\oplus F$

를 생각할 수 있다.

$A$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 만약 이 조건이 성립한다면 $A$를 닫힌 작용소라고 한다.틀:Rp

• $A$의 그래프가 위상 벡터 공간 $E\oplus F$의 닫힌집합이다.
• 임의의 $x\in E$ 및 그물 $(x_i{)}_{i\in I}\subseteq D$에 대하여, 만약 $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_i=x$이며 $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }A{x}_i=y\in F$라면, $x\in D$이며 $y=Ax$이다.

물론, 만약 $E$ 및 $F$가 프레셰 공간이라면, 둘째 조건에서 그물 대신 점렬을 사용해도 된다.

닫힐 수 있는 작용소

다음이 주어졌다고 하자.

• $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$
• $𝕂$-위상 벡터 공간 $E$
• $𝕂$-위상 벡터 공간 $F$
• $E$의 조밀 $𝕂$-부분 벡터 공간 $D\subseteq E$
• 연속 $𝕂$-선형 변환 $A:D\to F$

이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 $A$를 닫힐 수 있는 작용소라고 한다.틀:Rp

• $\mathrm{graph}\overline{A}=\mathrm{cl}(\mathrm{graph}A)$인 연속 선형 변환 $\overline{A}:\overline{D}\to F$이 존재한다. (여기서 $\overline{D}={\mathrm{proj}}_E\mathrm{graph}\overline{A}$이다.)
• 임의의 $x\in E$ 및 두 그물 $(x_i{)}_{i\in I}\subseteq D$ 및 $(x{\text{'}}_{i^{\prime }}{)}_{i^{\prime }\in I^{\prime }}\subseteq D$에 대하여, 만약 $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_i=\underset{i^{\prime }\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_{i^{\prime }}=x$이며 $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }A{x}_i=y$이며 \textstyle\lim_{i'\to\infty}x'_{i'} = y'</math>라면, $y=y^{\prime }$이다.

다시 말해, 닫힐 수 있는 작용소에서는, 임의의 $E$의 원소에서 $A$의 값을 그물 또는 점렬의 극한으로 정의하려고 한다면, 이러한 가능한 정의는 (만약 가능하다면) 유일하다.

이 경우, $\mathrm{cl}(\mathrm{graph}A)$로 정의되는 작용소를 $\overline{A}$로 표기하며, $A$의 폐포(틀:Llang)라고 한다.

성질

$𝕂$-힐베르트 공간 $H$의 조밀 부분 집합

$D\subseteq E$

위의 선형 변환

$A:H\to H$

의 에르미트 수반을 정의하려 한다고 하자. 이 경우, 그 수반의 정의역은

$\mathrm{dom}{A}^{*}=\{x\in H:⟨x|A\in {\mathscr{H}}^{*}\cong \mathscr{H}\}$

이다. 이것이 조밀 집합일 필요 충분 조건은 $A$가 닫힐 수 있는 작용소인 것이다.

이 경우, $A$가 닫힐 수 있는 작용소일 때

$\overline{A}=A^{**}$

이다. 즉, 닫힌 작용소의 경우 $A=\overline{A}=A^{**}$이다.

힐베르트 공간 위의 모든 대칭 작용소는 닫힐 수 있는 작용소이다. 힐베르트 공간 위의 모든 자기 수반 작용소($A=A^{*}$)는 닫힌 작용소이다.

즉, 힐베르트 공간 위에서 다음 포함 관계가 성립한다.

대칭 작용소	⊂	닫힐 수 있는 작용소
∪		∪
자기 수반 작용소	⊂	닫힌 작용소
		∪
		유계 작용소

닫힌 그래프 정리

두 $𝕂$-바나흐 공간 $E$, $F$ 사이의, $E$ 전체에 정의된 $𝕂$-선형 변환 $A:E\to F$을 생각하자. 이 경우, $A$가 닫힌 작용소인 것은 $A$가 유계 작용소인 것과 동치이다. 이를 닫힌 그래프 정리(틀:Llang)라고 한다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드