납땜 (수학)

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 납땜(틀:Llang)은 올다발의 수직 벡터 다발과 올다발의 밑공간의 접다발 사이의 동형 사상이다. 이를 통해, 올다발의 올들이 "수평 방향"으로 붙어 있다고 간주할 수 있다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 매끄러운 올다발 $\pi :E\twoheadrightarrow M$. 또한, $E$ 역시 다양체라고 하자.

그렇다면, $E$의 납땜 $(o,\theta )$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 매끄러운 단면 $o\in \mathrm{\Gamma }(E)$
• 매끄러운 벡터 다발의 동형 $\theta :\mathrm{T}M\to o^{*}\mathrm{V}E$. 여기서 $\mathrm{V}E$는 $E$의 수직 벡터 다발이며, $o^{*}$는 벡터 다발의 당김이다.

이에 따라, $\theta$는 다음과 같은, $\mathrm{V}E$값의 1차 미분 형식으로 여길 수 있다.

$\theta \in {\mathrm{\Omega }}^1(M;o^{*}\mathrm{V}E)$

이를 납땜 형식(-形式, 틀:Llang)이라고 한다.

만약 $E$가 이미 매끄러운 벡터 다발이라면, 그 위의 납땜을 보통 암묵적으로 $o\in \mathrm{\Gamma }(E)$가 $o=0$이 되게 잡는다.

성질

다양체 $M$ 위의 매끄러운 올다발 $E$ 위에 납땜이 존재할 필요 조건은 $\dim E=2\dim M$인 것이다.

예

다양체 $M$ 위의 접다발 $\mathrm{T}M$은 자명한 납땜 형식을 갖는다. (이 경우 $\mathrm{V}\mathrm{T}M=\mathrm{T}M$이다.)

리만 다양체

매끄러운 다양체 $M$ 위의 일반화 리만 계량 $g$은, 공변접다발 ${\mathrm{T}}^{*}M$ 위의 납땜 $(o,\theta )$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것과 사실상 동치인 개념이다.

$o=0$이며, 임의의 $x\in M$ 및 $u,v\in {\mathrm{T}}_{x}M$에 대하여 $\theta (u)(v)=\theta (v)u$

위 조건은 일반화 리만 계량의 대칭성을 나타내며, 일반화 리만 계량의 비퇴화성은 $\theta$가 벡터 다발의 동형이어야 한다는 것에 해당한다.

구체적으로, 일반화 리만 계량 $g$는 벡터 다발의 동형

$\theta :\mathrm{T}M\to {\mathrm{T}}^{*}M$

$\theta :(x,v)\mapsto (x,g(v,-))$

을 정의한다. 반대로, 위 조건을 만족시키는 납땜 $\theta :\mathrm{T}M\to {\mathrm{T}}^{*}M$이 주어졌을 때, 일반화 리만 계량

$g(u,v)=(\theta (u))(v)=(\theta (v))(u)$

를 정의할 수 있다.

심플렉틱 다양체

심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다발 사상

$\mathrm{T}M\to {\mathrm{T}}^{*}M$

$(x,v)\mapsto (x,\omega (v,-))$

은 공변접다발 ${\mathrm{T}}^{*}M$ 위의 납땜을 정의한다.

연관 벡터 다발

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 리 군 $G$
• $G$-매끄러운 주다발 $P$
• $G$의 매끄러운 유한 차원 실수 표현 $\rho :V\to \mathrm{GL}(V;ℝ)$

이 경우, 연관 벡터 다발 $P{\times }_{G}V$를 구성할 수 있다. 이 경우, $P{\times }_{G}V$ 위의 납땜은 각 $x\in X$에 대하여 동형 사상

${\theta }_x:{\mathrm{T}}_{x}M\to P{\times }_{G}V$

로 주어진다.

즉, 이 경우 납땜 형식 $\theta$는 $G$-등변 $𝔤$값 1차 미분 형식

$\theta \in {\mathrm{\Omega }}^1(P;𝔤)$

가운데, $\ker \theta =\mathrm{V}P$인 것이다. 특히, $\theta$는 수평 미분 형식이다.틀:Rp

이 경우, $(P,\rho ,\theta )$를 $M$ 위의 $G$-구조($G$-構造, 틀:Llang)라고 한다.틀:Rp

만약 추가로 $\rho$가 충실한 표현(즉, 단사 함수)일 경우, 이 경우 $P$는 1차 틀다발 ${\mathrm{F}}^{1}M$의 부분 주다발이 된다. 구체적으로, $p\in P$에 대응하는 틀은 다음과 같다.

$v\mapsto {\theta }_{\pi (x)}^{-1}([(p,v)])(v\in V)$

주다발

매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 주다발 $P$의 납땜 $(o,\theta )$의 개념은 자명하다. 이는 단면 $o\in \mathrm{\Gamma }(P)$의 존재에 따라 $P$가 대역적으로 자명한 주다발 $P=M\times G$이 되며, $\mathrm{V}P=P\times 𝔤$이므로 이에 따라

$\mathrm{T}M\cong M\times 𝔤$

가 되기 때문이다. 즉, 접다발 $\mathrm{T}M$ 역시 자명한 벡터 다발이 된다.

이 때문에, 보통 "주다발 위의 납땜"은 사실 그 위의 어떤 연관 벡터 다발 위의 납땜을 뜻한다.

외부 링크

• 틀:Nlab
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• 틀:Nlab
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