끝 (위상수학)

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서, 끝(틀:Llang)은 대략 어떤 위상 공간의 "경계"의 "연결 성분"을 뜻한다. 구체적으로, 점점 더 큰 콤팩트 집합을 잘라냈을 때 남는 연결 성분들의 사영 극한이다.

정의

위상 공간 $X$이 주어졌다고 하자. 그 속의 모든 콤팩트 집합들의 부분 순서 집합 $\mathrm{Comp}(X)$를 생각하자.

이제, 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$에 대하여, 그 여집합의 연결 성분들의 집합

${\pi }_0(X\setminus K)$

을 생각할 수 있다. 각 포함 사상 $K\subseteq K^{\prime }\subseteq X$에 대하여 자연스러운 함수

${\pi }_0(X\setminus K^{\prime })\to {\pi }_0(X\setminus K)$

$C^{\prime }\mapsto C⟺C^{\prime }\subseteq C\mathrm{\forall }C\in {\pi }_0(X\setminus K),C^{\prime }\in {\pi }_0(X\setminus K^{\prime })$

가 존재한다. 이에 따라, 사영 극한

$\mathrm{Ends}(X)=\underset{K\in \mathrm{Comp}(X)}{\underleftarrow{\lim }}{\pi }_0(X\setminus K)$

를 취할 수 있다. $\mathrm{Ends}(X)$를 $X$의 끝들의 집합이라고 한다.

끝 콤팩트화

위상 $X$가 주어졌을 때, 분리합집합 $X\bigsqcup \mathrm{Ends}(X)$에 다음과 같은 기저로 생성되는 위상을 줄 수 있다.

$\mathrm{Open}(X)\cup \{U\bigsqcup \{e\}:U\in \mathrm{Open}(X),e\in \mathrm{Ends}(X),\mathrm{\exists }K\in \mathrm{Comp}(K):e_K\subseteq U\}$

여기서 $\mathrm{Open}(X)$는 $X$의 열린집합들의 족이다.

이를 $X$의 끝 콤팩트화(끝compact化, 틀:Llang)라고 하며, 이는 항상 콤팩트 공간이다.

성질

다음과 같은 두 범주를 생각하자.

• $\mathrm{T}\mathrm{o}{\mathrm{p}}_{\mathrm{prop}}$은 그 대상이 위상 공간이며, 그 사상이 연속 고유 함수인 범주이다.
• $\mathrm{Set}$은 집합과 함수의 범주이다.

그렇다면, 끝 집합은 함자

$\mathrm{Ends}:\mathrm{T}\mathrm{o}{\mathrm{p}}_{\mathrm{prop}}\to \mathrm{Set}$

를 정의한다. 구체적으로, 임의의 연속 고유 함수 $f:X\to X^{\prime }$ 및 끝 $(C_K{)}_{K\in \mathrm{Comp}(X)}$에 대하여,

$\mathrm{Ends}(f):(C_K{)}_{K\in \mathrm{Comp}(X)}\mapsto {\left(f_{*,K^{\prime }}{C}_{f^{-1}(K^{\prime })}\right)}_{K^{\prime }\in \mathrm{Comp}(X^{\prime })}$

이다. 여기서

$f_{*,K^{\prime }}:{\pi }_0(X\setminus f^{-1}(K^{\prime }))\to {\pi }_0(X^{\prime }\setminus K^{\prime })$

는 $f$로 유도되는 표준적인 함수이다.

위상군

경로 연결 위상군은 두 개 이하의 끝을 갖는다.틀:Rp

예

콤팩트 공간은 (정의에 따라) 끝을 갖지 않으며, 그 끝 콤팩트화는 스스로와 같다.

실수선은 두 개의 끝을 가지며, 그 끝 콤팩트화는 확장된 실수의 공간이다. 2차원 이상의 유클리드 공간은 하나의 끝을 가지며, 그 끝 콤팩트화는 같은 차원의 초구이다.

콤팩트 다양체 $M$ 속에 유한 개의 점 $x_1,x_2,\dots ,x_n\in M$을 고르자. 그렇다면, $M\setminus \{x_1,\dots ,x_n\}$은 $n$개의 끝을 갖는다. 그 끝 콤팩트화는 원래의 다양체 $M$이다.

역사

끝의 개념은 한스 프로이덴탈이 1931년에 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Nlab
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