고유 함수

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 2 일반위상수학에서 고유 함수(固有函數, 틀:Llang)은 콤팩트 집합의 원상이 콤팩트한 연속 함수이다.

정의

위상 공간 $X,Y$ 사이의 연속 함수 $f:X\to Y$가 다음 성질을 만족시키면, $f$를 고유 함수라고 한다.

임의의 콤팩트 집합 $K\subset Y$에 대하여, $K^{-1}(f)\subset X$는 콤팩트 집합이다.

(스킴의 고유 사상은 이 조건과 다른 조건이다.)

위상 공간 $X,Y$ 사이의 연속 함수 $f:X\to Y$가 다음 성질을 만족시키면, $f$를 준콤팩트 함수(準-, 틀:Llang)라고 한다.

임의의 콤팩트 열린집합 $K\subset Y$에 대하여, $K^{-1}(f)\subset X$는 콤팩트 열린집합이다.

이 조건은 스킴 이론에서 쓰인다. 두 스킴 사이의 준콤팩트 사상(틀:Llang)은 준콤팩트 함수인 스킴 사상이다. (스킴 사상은 항상 연속 함수이다.) 공역 $Y$가 하우스도르프 공간이라면 $Y$의 콤팩트 열린집합은 열린닫힌집합이며, $Y$가 하우스도르프 연결 공간인 경우 이는 공집합이거나 $Y$ 전체이다. 따라서, 공역이 하우스도르프 연결 공간인 경우 준콤팩트 함수의 개념은 자명하다. 그러나 대부분의 스킴은 하우스도르프 공간이 아니다.

성질

정의에 따라서, 연속 함수에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

고유 함수 $⊊$ 준콤팩트 함수 $⊊$ 연속 함수

필요 조건 · 충분 조건

어떤 연속 함수 $f:X\to Y$에 대하여, 닫힌 함수이며 또한 모든 점 $y\in Y$의 원상이 콤팩트 집합이라면 $f$는 고유 함수이다. 만약 $Y$가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 그 역도 성립한다.

만약 $X,Y$가 거리 공간이라면, 고유성은 다음 개념을 통해 정의할 수 있다.

거리 공간 $X$ 속의 수열 $x_i\in X$가 주어졌다고 하자. 만약 모든 콤팩트 집합 $K$에 대하여 $K\cap \{x_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$가 유한 집합이라면, $(x_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$를 무한대로 달아난다(틀:Llang)고 한다.

거리 공간 사이의 연속 함수 $f:X\to Y$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 고유 함수이다.
• $X$ 속의 모든 무한대로 달아나는 수열의 상이 ($Y$ 속에서) 항상 무한대로 달아난다.

스킴 사상 $f:X\to Y$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 준콤팩트 사상이다.틀:Rp
• 임의의 아핀 열린집합 $A\subseteq Y$에 대하여, $f^{-1}(A)$는 콤팩트 집합이다.틀:Rp (모든 아핀 스킴은 콤팩트 공간이다.)
• $Y$는 $f$에 대한 원상이 콤팩트 집합인 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개 $\{{\iota }_i:\mathrm{Spec}{R}_i\to Y{\}}_{i\in I}$를 갖는다.틀:Rp

그러나 마지막 조건에서, "원상이 콤팩트 집합인 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개"를 "원상이 콤팩트 집합인 콤팩트 열린 부분 스킴으로 구성된 열린 덮개"로 약화시킨다면 이는 동치이지 않다.틀:Rp

기타 성질

위상 공간 $X$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $X$가 콤팩트 공간이다.
• 한원소 공간으로 가는 유일한 함수 $X\to \{\bullet \}$가 고유 함수이다.
• 한원소 공간으로 가는 유일한 함수 $X\to \{\bullet \}$가 준콤팩트 함수이다.

정의역이 콤팩트 공간이고 공역이 하우스도르프 공간인 연속 함수는 고유 함수이자 닫힌 함수이다.

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:Nlab
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