편미분

편미분(偏微分, 틀:Llang)은 다변수 함수의 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 간주하여 미분하는 것이다. 기호는 ∂으로, 1770년 니콜라 드 콩도르세가 편차분 기호로서 사용한 이후로 편미분을 나타내는 기호로 사용되고 있으며 이후 1786년에 아드리앵마리 르장드르에 의해 소개되었으나 쓰이지 않다가, 1841년에 카를 구스타프 야코프 야코비가 다시 이 기호를 도입하였다. 다른 하나의 변수를 상수로 간주한 뒤 미분해 얻은 도함수를 편도함수라고 부르며 이 편도함수를 구하는 과정을 편미분이라 부른다.

$f{\text{'}}_x,f_x,{\partial }_{x}f,\frac{\partial }{\partial x}f,\frac{\partial f}{\partial x}$

는 변수 $x$에 대한, 함수 $f(x,y,\dots )$의 편미분을 뜻한다.

$f{\text{'}}_x(x,y,\dots ),\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,\dots )$

등은 함수로서 편미분이 종속되는 변수를 강조할 수 있다.

도입

z = x² + xy + y²의 그래프. y = 1로 놓으면, xz-평면과 평행하는 빨간색 곡선을 얻으며, 점 (1, 1)에서 곡선의 접선은 역시 xz-평면과 평행한다.

위 그래프의 평면 y = 1에 의한 절단면. 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 3이다.

하나 이상의 변수를 갖는 함수 $f$가 주어졌다고 가정하자. 예를 들어,

$z=f(x,y)=x^2+xy+y^2$

이 함수의 그래프는 유클리드 공간 속 곡면을 정의한다. 곡면 속 점마다 무한히 많은 접선이 존재한다. 편미분은 이런 접선 가운데 하나를 골라, 그 기울기를 구하는 것이다. $xz$-평면이나 $yz$-평면과 평행하는 접선(즉, $y$나 $x$를 상수로 놓아 얻는 접선)은 특히 중요도가 높다. 점 $(x,y)$에서 $xz$-평면과 평행하는 접선의 기울기를 구하자. $y$를 상수로 볼 때, 곡면 위에 놓인 곡선을 얻는다. 그 곡선 방정식에서 $y$를 상수로 보아 미분을 구하면, 점 $(x,y)$에서 곡선의 기울기가 다음과 같다는 것을 알 수 있다.

$\frac{\partial z}{\partial x}=2x+y$

대입을 통해, 점 $(1,1)$에서 $xz$-평면과 평행하는 접선의 기울기는 3이라는 것을 알 수 있다. 즉, 점 $(1,1)$에서

$\frac{\partial z}{\partial x}(1,1)=3$.

즉, 점 $(1,1)$에서 $z$의 $x$에 대한 편미분은 3이다.

함수 $f$는 변수 하나의 함수들의 족으로서 재해석할 수 있다. 다시 말해, 모든 $y$ 값은 변수 하나의 함수

$f_{(y)}(x)=x^2+xy+y^2$

에 대응한다. 만약 $y$의 값을 $y=a$와 같이 선택해 고정시킨다면, $f$는 함수

$f_{(a)}(x)=x^2+ax+a^2$

를 결정한다. $a$가 상수이지 더 이상 변수가 아니며, 따라서 $f_a$는 변수 $x$ 하나만을 갖는다. 따라서, 일변수 함수의 미분을

$f_{{(}^{\prime }a)}(x)=2x+a$

와 같이 적용할 수 있다. 이는 모든 $x$ 값의 함수이며, 이 논의는 모든 $y=a$ 값에 적용시킬 수 있다. 따라서 이로부터, 모든 $x$ 값 및 $y$ 값을 변수로 갖는 함수

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x+y$

을 얻을 수 있다. 이는 함수 $f$의, 변수 $x$에 대한 편미분이다.

정의

연결 열린집합 $D\subseteq {ℝ}^n$에 정의된 실숫값 함수 $f:D\to ℝ$ 및 점 $𝒂\in D$에 대하여, 점 $𝒂$에서 함수 $f$의 변수 $x_i$에 대한 편미분은 다음과 같은 극한이다.

$\frac{\partial f}{\partial x_i}(𝒂)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a_1,\dots ,a_{i-1},a_i+h,a_{i+1},\dots ,a_n)-f(a_1,\dots ,a_{i-1},a_i,a_{i+1},\dots ,a_n)}{h}$

편미분은 다음과 같이 정의할 수도 있으며, 이는 위 정의와 동치이다.

• $\frac{\partial f}{\partial x_i}(𝒂)=\frac{d{f}_{(i)}}{dx}(a_i)$
• $\frac{\partial f}{\partial x_i}(𝒂)=L⟺L=\frac{\partial f}{\partial {𝒆}_i}(𝒂)=-\frac{\partial f}{\partial (-{𝒆}_i)}(𝒂)$

여기서

• $f_{(i)}(x)=f(a_1,\dots ,a_{i-1},x,a_{i+1},\dots ,a_n)$
• $\frac{\partial f}{\partial 𝒗}$는 방향 미분이다.
• ${𝒆}_i$는 $i$번째 좌표가 1, 나머지 좌표가 0인 단위 벡터이다.

어떤 $𝒂\in D$에서 $f$의 $x_i$에 대한 편미분이 존재한다면, 점 $𝒂$에서 $f$가 $x_i$에 대해 편미분 가능하다고 한다. 모든 $𝒙\in D$에서 $f$의 $x_i$에 대한 편미분이 존재한다면, $f$가 $D$에서 $x_i$에 대해 편미분 가능하다고 한다. 이 경우, 편미분은 정의역이 $D$, 공역이 $ℝ$인 함수이며, 이를

$\frac{\partial f}{\partial x_i}$

로 표기한다.

기울기

틀:본문 (어떤 점 또는 모든 점에서) 함수 $f$가 모든 변수에 대해 편미분 가능할 경우, $f$의 기울기는 각 변수에 대한 편미분을 좌표로 갖는 벡터이다.

방향도함수

방향도함수(方向導函數, 틀:Llang)는 편미분의 가벼운 일반화이다. 좌표축과 평행하는 방향의 함수 변화를 다루는 편미분과 달리, 방향 미분은 임의의 방향의 함수 변화를 다룬다.

다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.

• 연결 열린집합 $D\subseteq {ℝ}^n$에 정의된 실숫값 함수 $f:D\to ℝ$
• 유클리드 공간 속 점 $𝒂\in D$
• 유클리드 공간 속 단위 벡터

$𝒗=(\cos {\theta }_1,\dots ,\cos {\theta }_n)\in {ℝ}^n(|𝒗|=1)$

이를 "방향"이라고 부르자.

그렇다면, 점 $𝒂$에서 $f$의 방향 $𝒗$에 대한 방향도함수는 다음과 같은 극한이다.

$\begin{array}{cc}\frac{\partial f}{\partial 𝒗}& =\underset{t\to 0+0}{\lim }\frac{f(a_1+t\cos {\theta }_1,\dots ,a_n+t\cos {\theta }_n)-f(a_1,\dots ,a_n)}{t}\\ & =\underset{t\to 0+0}{\lim }\frac{f(𝒂+t𝒗)-f(𝒂)}{t}\\ & =\underset{E\ni 𝒙\to 𝒂}{\lim }\frac{f(𝒙)-f(𝒂)}{(𝒙-𝒂)\cdot 𝒗}\end{array}$

여기서

$E=\{𝒂+t𝒗:0<t<t^{\prime }\}\subseteq D$

이다.

고계 편미분

함수 $f$의 고계 편미분(高階偏微分, 틀:Llang)은 편미분의 편미분이나 편미분의 편미분의 편미분 등등을 뜻한다.

예를 들어, 독립 변수 $x,y,z$의 함수 $f:{ℝ}^3\to ℝ$에 대하여, $x$에 대한 편미분은 다음과 같이 표기한다.

$\frac{\partial f}{\partial x}=f_x={\partial }_{x}f$

이를 다시 $x$나 $y$로 편미분하면, 이계 편미분을 얻으며, 다음과 같이 표기한다.

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=f_{xx}={\partial }_{xx}f\equiv \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial x}f$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=f_{xy}={\partial }_{yx}f\equiv \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial x}f$

비슷하게, $f$를 $y$나 $z$로 편미분하고, 다시 $x$나 $y$나 $z$로 편미분할 수 있다.

일반적으로, 연결 열린집합 $D\subseteq {ℝ}^n$에 정의된 실숫값 함수 $f:D\to ℝ$를 변수 $x_a$로 $k_a$번, 변수 $x_b$로 $k_b$번, ..., 변수 $x_c$로 $k_c$번(인접하지 않는 두 변수는 같을 수 있다) 편미분하는 것은 $k_a+k_b+\cdots +k_c$계 편미분이며, 다음과 같이 표기한다.

$\frac{{\partial }^{k_a+k_b+\cdots +k_c}f}{\partial x_c^{k_c}\cdots \partial x_b^{k_b}\partial x_a^{k_a}}\equiv \frac{{\partial }^{k_c}}{\partial x_c^{k_c}}\cdots \frac{{\partial }^{k_b}}{\partial x_b^{k_b}}\frac{{\partial }^{k_a}}{\partial x_a^{k_a}}f$

용어 혼합 편미분(混合偏微分, 틀:Llang)은 서로 다른 두 변수에 대한 이계 편미분을 뜻한다. 예를 들어, 위에서 $f$의 $x$에 대한 편미분의 $y$에 대한 편미분은 혼합 편미분이다.

많은 경우 편미분 변수 순서는 교환 가능하며, 이 경우 편미분은 다중지표를 사용하여 다음과 같이 표기할 수 있다.

${\left(\frac{\partial }{\partial 𝒙}\right)}^{𝒊}f\equiv {\left(\frac{\partial }{\partial x_1}\right)}^{i_1}{\left(\frac{\partial }{\partial x_2}\right)}^{i_2}\cdots {\left(\frac{\partial }{\partial x_n}\right)}^{i_n}f$

물론, 이들 편미분 가운데 일부 또는 전부는 정의역의 일부 또는 전부에서 존재하지 않을 수 있다.

성질

(어떤 점이나 모든 점에서) 함수가 전미분 가능하다면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수의 모든 편미분과 모든 방향 미분이 존재한다. 또한, 다음이 성립한다.

$df=\frac{\partial f}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}d{x}_2+\cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n}d{x}_n=\mathrm{\nabla }f\cdot d𝒙$

$\frac{\partial f}{\partial 𝒗}=\frac{\partial f}{\partial x_1}\cos {\theta }_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\cos {\theta }_2+\cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n}\cos {\theta }_n=\mathrm{\nabla }f\cdot 𝒗$

(어떤 점이나 모든 점에서) 함수의 모든 편미분이 존재하고, 모두 연속 함수라면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수는 전미분 가능하다. 이 경우 함수가 연속 미분 가능하다고 한다.

편미분 교환 법칙

편미분 교환 법칙에 따르면, 연결 열린집합 $D\subseteq {ℝ}^n$에 정의된 함수 $f:D\to ℝ$ 및 그 두 변수 $x$, $y$에 대하여, 만약 $f$가 ${𝒞}^2$함수라면, $f$의 $x$와 $y$에 대한 혼합 편미분은 서로 같다. 즉,

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$

틀:증명 $S(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0+\mathrm{\Delta }y)+f(x_0,y_0)$라고 하고 $g\left(x\right)=f(x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y_0)$라고 하자. 그렇다면 $S(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)=g(x_0+\mathrm{\Delta }x)-g\left(x_0\right)$이다. 전제에 의하여 $g$는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 $x_0+\mathrm{\Delta }x$와 $x_0$사이에는 $g(x_0+\mathrm{\Delta }x)-g\left(x_0\right)=g^{\prime }\left(\overline{x}\right)\mathrm{\Delta }x$를 만족하는 $\overline{x}$가 존재한다. $S(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)=[\frac{\partial f}{\partial x}(\overline{x},y_0+\mathrm{\Delta }y)-\frac{\partial f}{\partial x}(\overline{x},y_0)]\mathrm{\Delta }x$이다. 평균값 정리를 다시 한 번 적용하면 $f_x$는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 $y_0+\mathrm{\Delta }y$와 $y_0$사이에는 $\frac{\partial f}{\partial x}(\overline{x},y_0+\mathrm{\Delta }y)-\frac{\partial f}{\partial x}(\overline{x},y_0)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(\overline{x},\overline{y})\mathrm{\Delta }y$를 만족하는 $\overline{y}$가 존재한다. 따라서 $S(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(\overline{x},\overline{y})\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }x$이고, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(\overline{x},\overline{y})=\frac{S(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)}{\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y}$이다. $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$는 연속이므로 $\underset{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)}{\lim }\frac{S(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)}{\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y)$이다. 유사한 방법으로 계산해보면 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)=\underset{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)}{\lim }\frac{S(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)}{\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y}$이므로 $f_{xy}=f_{yx}$이다. 틀:증명 끝

예

밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원뿔의 부피 V는 다음과 같다.

$V=\frac{\pi r^{2}h}{3}$

여기에서 V를 r에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

$\frac{\partial V}{\partial r}=\frac{2\pi rh}{3}$

또한, V를 h에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다.

$\frac{\partial V}{\partial h}=\frac{\pi r^2}{3}$

같이 보기

• 달랑베르 연산자
• 연쇄 법칙
• 회전 (벡터)
• 발산 (벡터)
• 야코비 행렬
• 라플라스 연산자

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용