야코비 행렬

정의

열린집합 $U \subseteq ℝ^{n}$ 에 정의된 함수 $𝐟 : U \to ℝ^{m}$ 가 점 $𝐚 \in U$ 에서 미분 가능하다고 하자. 이 경우 $𝐟$ 의 $𝐚$ 에서의 야코비 행렬 $J (𝐟) (𝐚)$ 은 다음과 같다.

J (𝐟) (𝐚) = (\begin{matrix} (\partial f_{1} / \partial x_{1}) (𝐚) & (\partial f_{1} / \partial x_{2}) (𝐚) & \dots & (\partial f_{1} / \partial x_{n}) (𝐚) \\ (\partial f_{2} / \partial x_{1}) (𝐚) & (\partial f_{2} / \partial x_{2}) (𝐚) & \dots & (\partial f_{2} / \partial x_{n}) (𝐚) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ (\partial f_{m} / \partial x_{1}) (𝐚) & (\partial f_{m} / \partial x_{2}) (𝐚) & \dots & (\partial f_{m} / \partial x_{n}) (𝐚) \end{matrix}) = (\begin{matrix} \nabla f_{1} (𝐚) \\ \nabla f_{2} (𝐚) \\ ⋮ \\ \nabla f_{m} (𝐚) \end{matrix}) = (\begin{matrix} (\partial 𝐟 / \partial x_{1}) (𝐚) & (\partial 𝐟 / \partial x_{2}) (𝐚) & \dots & (\partial 𝐟 / \partial x_{n}) (𝐚) \end{matrix}) \in Mat (m, n; ℝ)

즉, 각 $J (𝐟) (𝐚)_{i j} = (\partial f_{i} / \partial x_{j}) (𝐚)$ 는 $𝐟$ 의 $i$ 번째 성분의 $j$ 번째 변수에 대한 편도함수이다.

만약 $n = m$ 일 경우, 야코비 행렬은 정사각행렬이므로, 그 행렬식 $\det J (𝐟) (𝐚)$ 을 취할 수 있다. 이를 $𝐟$ 의 $𝐚$ 에서의 야코비 행렬식이라고 한다.

특히, 열린집합 $U \subseteq ℝ^{n}$ 에 정의된 미분 가능 함수 $𝐟 : U \to ℝ^{m}$ 의 야코비 행렬 $J (𝐟)$ 은 다음과 같다.

J (𝐟) : U \to Mat (m, n; ℝ)

J (𝐟) : 𝐱 \mapsto J (𝐟) (𝐱) \forall 𝐱 \in U

야코비 행렬의 표기에는 다음과 같은 표기들이 쓰인다.

마지막 표기는 일부 문헌에서 야코비 행렬식을 나타내는 데 사용된다.

열린집합 $U \subseteq ℝ^{n}$ 에 정의된 함수 $𝐟 : U \to ℝ^{m}$ 가 점 $𝐚 \in U$ 에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

𝐟 (𝐚 + Δ x) - 𝐟 (𝐚) = J (𝐟) (𝐚) Δ 𝐱 + 𝐨 (‖ Δ 𝐱 ‖) (Δ 𝐱 \to 𝟎)

즉, $J (𝐟) (𝐚)$ 는 $𝐟$ 의 $𝐚$ 에서의 프레셰 도함수이다.

다음과 같은 함수 $𝐟 : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ 를 생각하자.

𝐟 (x, y) = (x y, \sin x y) \forall x, y \in ℝ

모든 편도함수는 다음과 같다.

\frac{\partial f_{1}}{\partial x} = y, \frac{\partial f_{1}}{\partial y} = x, \frac{\partial f_{2}}{\partial x} = y \cos x y, \frac{\partial f_{2}}{\partial y} = x \cos x y \forall x, y \in ℝ

따라서, $𝐟$ 의 야코비 행렬은 다음과 같다.

J (𝐟) (𝐱) = (\begin{matrix} y & x \\ y \cos x y & x \cos x y \end{matrix}) \forall x, y \in ℝ

또한, $𝐟$ 의 야코비 행렬식은 다음과 같다.

\det J (𝐟) (𝐱) = 0 \forall x, y \in ℝ