나카지마 화살집 다양체

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학과 그래프 이론에서 나카지마 화살집 다양체([中島]화살집多樣體, 틀:Llang)는 화살집에 대응되는 특별한 초켈러 다양체이다. 카츠-무디 대수의 표현론과 관련되어 있다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 화살집 $\mathrm{\Gamma }$
• 각 꼭짓점 $i\in \mathrm{V}(\mathrm{\Gamma })$에 대하여, 두 유한 차원 복소수 벡터 공간 $V_i$, $W_i$

그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간을 정의할 수 있다.

$E=\underset{i\in \mathrm{V}(\mathrm{\Gamma })}{⨁}(\mathrm{hom}(V_i,W_i))\oplus \underset{i,j\in \mathrm{V}(\mathrm{\Gamma }),e\in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{\Gamma }}(i,j)}{⨁}\mathrm{hom}(V_i,V_j)$

그 차원은

$\dim V_i=v_i$

$\dim W_i=w_i$

로 놓고, ${ℂ}^{\mathrm{V}(\mathrm{\Gamma })}$ 위의 브라-켓 표기법을 사용하면

${\dim }_{ℂ}E=⟨v|𝖠(\mathrm{\Gamma })|v⟩+⟨v|w⟩$

이다. 여기서 $𝖠(\mathrm{\Gamma })$는 $\mathrm{\Gamma }$의 인접 행렬이다. 만약 $(V_i,W_i{)}_{i\in \mathrm{V}(\mathrm{\Gamma })}$에 각각 복소수 내적 공간의 구조를 부여하면, $E$ 역시 복소수 내적 공간이 된다. 또한,

${\mathrm{T}}^{*}E\cong E\oplus E^{*}=\underset{i\in \mathrm{V}(\mathrm{\Gamma })}{⨁}(\mathrm{hom}(V_i,W_i)\oplus \mathrm{hom}(W_i,V_i))\oplus \underset{i,j\in \mathrm{V}(\mathrm{\Gamma }),e\in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{\Gamma }}(i,j)}{⨁}(\mathrm{hom}(V_i,V_j)\oplus \mathrm{hom}(V_j,V_i))$

위에는 자연스럽게 사원수 벡터 공간의 구조가 주어진다.

이 위에는 대수군

$G=\prod _{i\in \mathrm{V}(\mathrm{\Gamma })}\mathrm{GL}(V_i;ℂ)$

이 작용하며, 이는 ${\mathrm{T}}^{*}E$의 초켈러 다양체 구조와 호환된다. $G$의 작용의 운동량 사상

$\mu :{\mathrm{T}}^{*}E\to 𝔩𝔦𝔢(G{)}^{*}$

의 정귯값 $\zeta \in 𝔩𝔦𝔢(G{)}^{*}$에 대하여 초켈러 몫

$E///G$

를 취할 수 있다. 이는 특이점을 가질 수 있으며, 기하 불변량 이론 몫을 취하여 준안정점이 아닌 점들을 버릴 수 있다. 이렇게 하여 얻는 복소수 대수다양체를 $(\mathrm{\Gamma },(V_i,W_i{)}_{i\in \mathrm{V}(\mathrm{\Gamma })})$의 나카지마 화살집 다양체라고 한다. 이는 흔히 $ℳ(\mathrm{\Gamma },v,w)$로 표기된다. 그 복소수 차원은

${\dim }_{ℂ}ℳ(\mathrm{\Gamma },v,w)=2(⟨v|(𝖠(\mathrm{\Gamma })-1)|v⟩+⟨v|w⟩)$

이다. 여기서

$1-𝖠(\mathrm{\Gamma })$

는 일반화 카르탕 행렬이라고 한다. (만약 $\mathrm{\Gamma }$가 SU(2)의 유한 부분군의 매케이 화살집이라면, 이는 해당 ADE형 아핀 리 대수의 카르탕 행렬과 같다.)

성질

나카지마 화살집 다양체는 정의에 따라 항상 비(非)콤팩트 초켈러 다양체를 이룬다.

예

ALE 공간

$\mathrm{\Gamma }$가 SU(2)의 유한 부분군의 매케이 화살집(즉, 해당 ADE형의 확장 딘킨 도표)라고 하자. (여기서, 자명한 표현에 해당하는 꼭짓점을 버리지 않는다. 즉, 일반 딘킨 도표 대신 확장 딘킨 도표를 사용한다.) 이 경우, 인접 행렬 $𝖠(\mathrm{\Gamma })$는 대각 성분이 0인 정수 계수 대칭 행렬이다.

이제,

$|v⟩\in (1-𝖠(\mathrm{\Gamma }))=|1⟩$

$⟨1|v⟩=1$

인 $|v⟩\in {ℂ}^{\mathrm{V}(\mathrm{\Gamma })}$를 고를 수 있다. 여기서 $|1⟩\in {ℂ}^{\mathrm{V}(\mathrm{\Gamma })}$은 자명한 표현에 대응되는 매케이 화살집 꼭짓점에 대한 단위 벡터이다. 확장 카르탕 행렬의 핵은 항상 1차원이므로, 이는 $|v⟩$를 유일하게 결정한다. 그렇다면

$ℳ(|v⟩,|1⟩)$

은 해당 유한 부분군에 대한 4차원 점근 국소 유클리드 공간(틀:Llang)이다. 즉, 이 경우

${\dim }_{ℂ}ℳ(\mathrm{\Gamma },|v⟩,|1⟩)=2$

이다.

이 경우, 초켈러 축소에 등장하는 매개 변수 $\zeta \in {ℝ}^3$는 ALE공간의 크기를 결정한다. $\zeta \to 0$ 극한은 ALE 공간이 오비폴드 ${ℝ}^4/G$로 가는 극한에 해당한다.

ADHM 작도

틀:본문 $\mathrm{\Gamma }$가 하나의 꼭짓점과 하나의 변을 갖는 화살집이라고 하자. 그렇다면,

$E=\mathrm{hom}(V,V)\oplus \mathrm{hom}(V,W)$

${\mathrm{T}}^{*}E=\mathrm{hom}(V,V)\oplus \mathrm{hom}(V,V)\oplus \mathrm{hom}(V,W)\oplus \mathrm{hom}(W,V)$

이다. 이 경우

${\dim }_{ℝ}ℳ(v,w)=4vw$

인 초켈러 다양체를 얻는다. 이는 순간자수가 $k$인 $\mathrm{SU}(w)$ 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간이며, 이는 ADHM 작도와 같다.

이 밖에도, ALE 공간 위의 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간도 위와 마찬가지로 주어진다. 이 경우 $\mathrm{\Gamma }$는 SU(2) 유한 부분군 $G$ 매케이 화살집이며, $|v⟩$와 $|w⟩$는 순간자의 각종 성질을 나타낸다. 구체적으로, $w$는 순간자가 기본군 ${\pi }_1({ℝ}^4/G)\cong G$를 돌았을 때의 홀로노미를 묘사하며, $v$는 마찬가지로 각 홀로노미에 대한 순간자수를 묘사한다. 이 경우, 꼭짓점 기저는 $G$의 성분들의 “비아벨 푸리에 변환”에 해당한다.

원환 다양체

만약 모든 $i\in \mathrm{V}(\mathrm{\Gamma })$에 대하여 $⟨i|v⟩=1$이라면 (즉, 모든 $V_i$의 차원이 1이라면) 몫을 취하는 군은 원환면

$G=\mathrm{U}(1{)}^{|\mathrm{V}(\mathrm{\Gamma })|}$

이며, 이 경우 나카지마 화살집 다양체는 원환 다양체의 특수한 경우이다.

역사

나카지마 화살집 다양체들은 피터 크론하이머(틀:Llang)와 나카지마 히라쿠(틀:Llang, 1962〜)가 1990년에 ALE 공간 위로 양-밀스 순간자의 ADHM 작도를 일반화하는 동안 최초로 등장하였다. 이후 1994년에 나카지마는 이 구성을 일반적 화살집에 대하여 일반화하였다.

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:Nlab