단순 확대

틀:위키데이터 속성 추적 체론에서 단순 확대(單純擴大, 틀:Llang)는 하나의 원소로 생성되는 체의 확대이다.

정의

체의 확대 $L/K$가 주어졌다고 하자. 만약 $L=K(\alpha )$가 되는 $\alpha \in L$이 존재한다면, $L/K$를 단순 확대라고 하고, $\alpha$를 원시 원소(原始元素, 틀:Llang)라고 한다.

만약 $\alpha$가 $K$-초월 원소라면, $K(\alpha )\cong K(x)$는 $K$의 일변수 유리 함수체와 동형이다. 만약 $\alpha$가 $K$-대수적 원소라면, $K$의 다항식환의 어떤 몫환

$K(\alpha )\cong K[x]/(p(x))$

$[K(\alpha ):K]=\mathrm{deg}p$

과 동형이다. 여기서 $p$는 $\alpha$의 $K$-최소 다항식이다. 이는 기약 다항식이므로, $(p(x))$는 극대 아이디얼이며, $K[x]/(p(x))$는 체를 이룬다.

성질

유한 확대의 경우, 단순 확대가 될 필요충분조건은 원시 원소 정리(原始元素定理, 틀:Llang)에 의하여 주어진다. 원시 원소 정리에 따르면, 임의의 유한 확대 $L/K$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $L/K$는 단순 확대이다.
• $L/K$ 사이에, $K\subseteq M\subseteq L$이 되는 체 $M$의 수는 유한하다.

틀:증명 $L/K$ 사이의 체의 수가 유한하다고 가정하자. 만약 $K$가 유한체라면, $L$ 역시 유한체이며, 곱셈군 $L^{\times }=L\setminus \{0\}$은 순환군이다. 임의의 생성원 $\alpha$가 주어졌을 때, $L=K(\alpha )$이다. 이제, $K$가 무한체라고 하자. 그렇다면, 임의의 $\alpha ,\beta \in L$에 대하여,

$K(\alpha +c\beta )=K(\alpha +c^{\prime }\beta )$

$c\ne c^{\prime }$

인 $c,c^{\prime }\in K$가 존재한다.

$\beta =((\alpha +c\beta )-(\alpha +c^{\prime }\beta ))/(c-c^{\prime })\in K(\alpha +c\beta )$

$\alpha =(\alpha +c\beta )-c\beta \in K(\alpha +c\beta )$

이므로, $K(\alpha ,\beta )=K(\alpha +c\beta )$이다. 수학적 귀납법에 따라, $L=K({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$이라고 하였을 때,

$L=K({\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+\cdots +c_n{\alpha }_n)$

인 $c_2,\dots ,c_n\in K$가 존재한다. 즉, $L/K$는 단순 확대이다.

반대로, $L=K(\alpha )$가 $K$의 단순 확대라고 가정하자. $L/K$ 사이의 임의의 체 $K\subseteq M\subseteq L$에 대하여, $p_M\in M[x]$가 $\alpha$의 $M$-최소 다항식이라고 하자. 그렇다면, $p_M(x)$는 $p_K(x)$의 약수이므로, 유한 개밖에 없다. 따라서 $M\mapsto p_M$이 단사 함수임을 보이면 충분하다. 임의의 다항식 $p\in K[x]$에 대하여, $S_p$가 $p(x)$의 계수들의 집합이라고 하자. 그렇다면, $p\in K(S_p)[x]$이다. 임의의 체 $K\subseteq M\subseteq L$에 대하여, $p_M(x)$는 $M$-기약 다항식이며, $K(S)\subseteq M$이므로, $p_M(x)$는 $K(S_{p_M})$-기약 다항식이다. 즉, $p_M$은 $\alpha$의 $K(S_{p_M})$-최소 다항식이기도 하다. 따라서,

$[L:K(S_{p_M})]=[K(S_{p_M})(\alpha ):K(S_{p_M})]=\mathrm{deg}{p}_M=[M(\alpha ):M]=[L:M]$

$[K(S_{p_M}):K]=[L:K]/[L:K(S_{p_M})]=[L:K]/[L:M]=[M:K]$

이다. $M/K$는 유한 확대이며, $K(S_{p_M})\subseteq M$이므로, $M=K(S_{p_M})$이다. 만약 $K\subseteq M,M^{\prime }\subseteq L$이며 $p_M=p_{M^{\prime }}$이라면, $M=K(S_{p_M})=K(S_{p_{M^{\prime }}})=M^{\prime }$이다. 즉, $M\mapsto p_M$은 단사 함수가 맞다. 틀:증명 끝

또한, 만약 $L/K$가 유한 분해 가능 확대라면, $L/K$는 항상 단순 확대이다. 조금 더 일반적으로, 만약 $L/K$가 유한 분해 가능 확대이며, $M/L$이 대수적 단순 확대라면, $M/K$는 단순 확대이다. 틀:증명 유한 분해 가능 확대가 단순 확대라는 사실은 원시 원소 정리와 갈루아 이론을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 원시 원소 정리에 따라, $L/K$ 사이의 체의 수가 유한함을 보이면 충분하다. $M/L$이 $L/K$의 정규 폐포라고 하자. 그렇다면, $M/K$는 유한 갈루아 확대를 이룬다. $L/K$ 사이의 체들은 $M/K$ 사이의 체들이며, $M/K$ 사이의 체들은 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(M/K)$의 부분군과 일대일 대응하며,

$|\mathrm{Gal}(M/K)|=[M:K]<{\mathrm{\aleph }}_0$

이므로, $L/K$ 사이의 체들의 수는 유한하다. 틀:증명 끝 틀:증명 유한 분해 가능 확대의 대수적 단순 확대가 단순 확대라는 사실은 다음과 같이 증명할 수 있다. 만약 $K$가 유한체라면, $M$ 역시 유한체이며, 곱셈군 $M^{\times }$은 순환군이다. 순환군 $M^{\times }$의 임의의 생성원은 원시 원소이다.

이제, $K$가 무한체라고 가정하자. 수학적 귀납법에 따라, 임의의 체 $K$ 및 분해 가능 확대 $K(\alpha )/K$ 및 대수적 확대 $K(\alpha ,\beta )/K(\alpha )$에 대하여, $K(\alpha ,\beta )/K$의 원시 원소를 찾으면 충분하다. 이를 위해, $\gamma =c\alpha +\beta$가 원시 원소가 아닌 $c\in K$의 수가 유한함을 보이면 충분하다.

$c\in K$

$\gamma =c\alpha +\beta$

$K(\gamma )⊊K(\alpha ,\beta )$

라고 하자. 그렇다면 $\alpha \in ̸K(\gamma )$이다. (만약 $\alpha \in K(\gamma )$라면, $\beta =\gamma -c\alpha \in K(\gamma )$이므로 $K(\gamma )=K(\alpha ,\beta )$이다.) 이제, $p,q\in K[x]$가 $\alpha ,\beta$의 최소 다항식이라고 하자. 그렇다면, $K(\alpha )/K$가 분해 가능 확대이므로 $p(x)$는 중근을 갖지 않는다. 또한, $\alpha$는 두 다항식

$p(x),q(\gamma -cx)\in K(\gamma )[x]$

의 공통의 근이다. 만약 $\alpha$가 유일한 공통의 근이라면, 두 다항식의 최대 공약수는 $x-\alpha$이다. 유클리드 호제법에 따라,

$x-\alpha =u(x)p(x)+v(x)q(\gamma -cx)$

인 $u,v\in K(\gamma )[x]$이 존재하며, 특히 $\alpha \in K(\gamma )$이다. 이는 모순이다. 즉,

$p({\alpha }^{\prime })=0$

$q(\gamma -c{\alpha }^{\prime })=0$

인 ${\alpha }^{\prime }\ne \alpha$가 (어떤 대수적 폐포 $\overline{K}$ 속에) 존재한다.

$\gamma -c{\alpha }^{\prime }={\beta }^{\prime }$

라고 하자. 그렇다면

$c=({\beta }^{\prime }-\beta )/(\alpha -{\alpha }^{\prime })$

이며, ${\alpha }^{\prime }$은 $p$의 근이며, ${\beta }^{\prime }$은 $q$의 근이다. $p$와 $q$의 근의 수는 유한하므로, 가정을 만족시키는 $c$의 수 역시 유한하다. 틀:증명 끝

예

단순 유한 확대

$ℂ/ℝ$는 단순 확대이며, 원시 원소는 $i=\sqrt{-1}$이다. 이차 수체 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q}$ 역시 단순 확대이며, 그 원시 원소는 $\sqrt{d}$이다.

$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$를 생각하자. 이는, 차수가 4인 유한 확대이며, 또한 표수가 0이므로 분해 가능 확대이다. 따라서, 원시 원소 정리에 따라서 이는 단순 확대이다.

구체적으로, $\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$으로 적자. 그렇다면 $\{1,\alpha ,{\alpha }^2,{\alpha }^3\}$은 $\mathbb{Q}$ 위에서 선형 독립이며, 이를 $\{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}\}$ 기저로 전개할 수 있다. 따라서 $\alpha$는 원시 원소이다.

단순 무한 확대

체 $K$의 유리 함수체 $K(x)$는 단순 확대이지만, 무한 확대이다.

단순하지 않은 유한 확대

${𝔽}_p(x,y)$의 확대

${𝔽}_p(x,y)[X,Y]/(X^p-x,Y^p-y)$

를 생각하자. 이는 차수 $p^2$의 유한 확대이다.

임의의 $a\in {𝔽}_p(x,y)[X,Y]/(X^p-x,Y^p-y)$에 대하여, $a^p\in {𝔽}_p(x,y)$이므로, 하나의 원소로 생성되는 확대의 차수는 항상 $p$ 이하이다. 따라서, 이는 단순 확대가 될 수 없다.

외부 링크

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