아르틴 상호 법칙

틀:위키데이터 속성 추적 유체론에서 아르틴 상호 법칙(Artin相互法則, 틀:Llang)은 이차 상호 법칙을 대역체의 임의의 유한 아벨 확대로 일반화하는 정리이다.

정의

$K$가 대수적 수체이며, $L/K$가 유한 아벨 확대라고 하자.

$K$의 정수환 ${𝒪}_K$의 소 아이디얼 $𝔭\subset {𝒪}_K$에 대하여, 만약 $𝔭$가 $L/K$에서 분기(틀:Llang)되지 않는 소수라면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 프로베니우스 자기 동형 사상

$\left(\frac{L/K}{𝔭}\right)\in \mathrm{Gal}(L/K)$

가 존재한다. $𝔭$ 위의, ${𝒪}_L$의 모든 소 아이디얼 $𝔓$에 대하여,

$\left(\frac{L/K}{𝔭}\right)(𝔓)=𝔓$

$\left(\frac{L/K}{𝔭}\right)(\alpha )\equiv {\alpha }^{N_{L/K}(𝔭)}(\mathrm{mod}𝔓)$

$S$가 $L/K$에서 분기되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면, $S$에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군 $I_K^S$에서 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(L/K)$으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재하며, 이를 아르틴 사상(틀:Llang)이라고 한다.

$\left(\frac{L/K}{\cdot }\right):I_K^S\to \mathrm{Gal}(L/K)$

$\prod _{i=1}^m{𝔭}_i^{n_i}\mapsto \prod _{i=1}^m{\left(\frac{L/K}{{𝔭}_i}\right)}^{n_i}$

아르틴 상호 법칙은 아르틴 사상의 핵이 무엇인지를 제시한다. 구체적으로, 어떤 모듈러스 $𝔠$에 대하여, 군 준동형

$I_K^S\to \mathrm{Gal}(L/K)$

의 핵은 다음과 같은 꼴이다.

$i(K_{𝔪,1}){\mathrm{N}}_{L/K}(I_L^{𝔪})$

여기서 $K_{𝔪,1}$은 $𝔪$에 대한 반직선이며, ${\mathrm{N}}_{L/K}$는 체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스를 $L/K$의 정의 모듈러스(틀:Llang)라고 하며, 정의 모듈러스 가운데 가장 작은 것을 $L/K$의 인도자(引導者, 틀:Llang)라고 한다.

예

이차 수체

이차 수체 $L=\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$을 생각하자 ($m$은 제곱 인수가 없는 정수). 그렇다면 $K/\mathbb{Q}$에서 분기되는 소수들은 다음과 같다.

• 만약 $m\equiv 1(\mathrm{mod}4)$인 경우, $p\mid m$인 소수 $p$. 이 경우, 판별식은 $\mathrm{\Delta }=m$이다.
• 만약 $m\equiv ̸1(\mathrm{mod}4)$인 경우, $p\mid m$인 홀수 소수 $p$ 및 2. 이 경우, 판별식은 $\mathrm{\Delta }=4m$이다.

이 경우, 갈루아 군은

$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}[\sqrt{m}]/\mathbb{Q})=\{+1,-1\}$

이다. 이 경우, 아르틴 사상은 $m$의 인수가 아닌 소수에 대하여 정의된 르장드르 기호이다.

$\left(\frac{m}{\cdot }\right):p\mapsto \left(\frac{\mathrm{\Delta }}{p}\right)$

원분체

원분체 $L=\mathbb{Q}[{\zeta }_m]$을 생각하자 ($m$은 소수이거나 4의 배수). 그렇다면 갈루아 군은

$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}[{\zeta }_m]/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/(m){)}^{\times }$

이다. 여기서 $(\mathbb{Z}/(m){)}^{\times }$은 $\mathbb{Z}/(m)$의 가역원군이다. 구체적으로, $a\in (\mathbb{Z}/(m){)}^{\times }$은 갈루아 군의 원소 ${\zeta }_{\mapsto }{\zeta }_m^a$에 대응된다.

이 경우, $m$의 인수가 아닌 소수 $p$에 대하여, 아르틴 사상은

$(modm):p\mapsto (pmodm)\in (\mathbb{Z}/(m){)}^{\times }$

이다.

역사

에밀 아르틴이 1924년~1930년 동안 3편의 논문에서 증명하였다.

같이 보기

• 아르틴 L-함수
• 모듈러스

각주

• 틀:서적 인용
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• 틀:저널 인용
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외부 링크

• 틀:매스월드
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• 틀:웹 인용
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