정규 확대

틀:위키데이터 속성 추적 체론에서 정규 확대(正規擴大, 틀:Llang)는 일련의 다항식들의 분해체인 대수적 확대이다.

정의

체 $K$의 대수적 확대 $L/K$에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수적 확대를 정규 확대라고 한다.

• $K[x]$의 기약 다항식 $p(x)$가 $L$에서 적어도 하나의 근을 갖는다고 하면, $p(x)$는 $L[x]$에서 완전히 인수분해된다. 즉, $p(x)=a\prod _{i=1}^n(x-b_i)$ ($a,b_i\in L$)의 꼴로 나타낼 수 있다.
• $L/K$는 일련의 다항식들의 집합 $P\subset K[x]$의 분해체와 ($K$의 확대로서) 동형이다.
• 모든 매장 $L\to \overline{K}$는 $L$의 자기 동형 사상으로부터 유도된다. 구체적으로, 확대 매장을 ${\iota }_{KL}:K\hookrightarrow L$로 쓰자. 또한, $L$은 대수적 확대이므로, $K$의 대수적 폐포 ${\iota }_{K\overline{K}}:K\hookrightarrow \overline{K}$로 가는 매장 ${\iota }_{L\overline{K}}:L\hookrightarrow \overline{K}$이 존재하며, 또한 ${\iota }_{L\overline{K}}\circ {\iota }_{KL}={\iota }_{K\overline{K}}$이도록 잡을 수 있다. (이는 초른 보조정리를 통해 보일 수 있다.) 그렇다면, 임의의 매장 ${\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}:L\hookrightarrow \overline{K}$에 대하여, ${\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}\circ {\iota }_{KL}={\iota }_{K\overline{K}}$라면 ${\iota }_{L\overline{K}}(L)={\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(L)\subset \overline{K}$이다.

틀:증명 첫째 조건 ⇒ 둘째 조건. 임의의 $a\in L$에 대하여, $p_a\in K[x]$가 $a$의 $K$에 대한 최소 다항식이라고 하자. 그렇다면, 가정한 첫째 조건에 따라 $L$은 모든 $p_a$의 모든 근을 포함한다. 즉, $L$은 $\{p_a:a\in L\}$의 $K$에 대한 어떤 분해체를 포함한다. 임의의 $a\in L$은 $p_a$의 근이므로 이 분해체에 속한다. 즉, $L$은 $\{p_a:a\in L\}$의 분해체를 이룬다.

둘째 조건 ⇒ 셋째 조건.

${\iota }_{KL}:K\to L$

${\iota }_{K\overline{K}}:K\to \overline{K}$

${\iota }_{L\overline{K}}:L\to \overline{K}$

${\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}:L\to \overline{K}$

${\iota }_{L\overline{K}}\circ {\iota }_{KL}={\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}\circ {\iota }_{KL}={\iota }_{K\overline{K}}$

가 셋째 조건에서 정의한 매장들이라고 하자. 편의상 $K\subseteq L\subseteq \overline{K}$이며 ${\iota }_{KL}$, ${\iota }_{K\overline{K}}$, ${\iota }_{L\overline{K}}$가 이에 대응하는 포함 함수들이라고 하자. 이 경우 조건 ${\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}\circ {\iota }_{KL}={\iota }_{K\overline{K}}$는 ${\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}{|}_K={\mathrm{id}}_K$가 된다. $S\subseteq L$이 $P$ 속 다항식들의 근들의 집합이라고 하자. 그렇다면, 가정한 둘째 조건에 따라

$L=K(S)$

${\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(L)=K({\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(S))$

이다. 따라서, ${\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(L)=L$임을 보이려면 ${\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(S)=S$임을 보이면 충분하다. 임의의 다항식

$p(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n\in P$

가 주어졌다고 하자. 그 $L[x]$에서의 인수 분해가

$p(x)=a_n(x-b_1)\cdots (x-b_n)$

이라고 하자. 이는 기본 대칭 다항식들이 등장하는 일련의 등식

$a_0=(-1{)}^n{a}_n{b}_1\cdots b_n$

$a_1=(-1{)}^{n-1}{a}_n(b_2\cdots b_n+\cdots +b_1\cdots b_{n-1})$

$⋮$

$a_n=a_n$

과 동치이다. 여기에 매장 ${\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}:L\to \overline{K}$를 가하면 $b_i$가 ${\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(b_i)$로 대체된 등식들을 얻는다.

$a_0=(-1{)}^n{a}_n{\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(b_1)\cdots {\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(b_n)$

$a_1=(-1{)}^{n-1}{a}_n({\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(b_2)\cdots {\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(b_n)+\cdots +{\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(b_1)\cdots {\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(b_{n-1}))$

$⋮$

$a_n=a_n$

$a_0,a_1,\dots ,a_n$은 $K$의 원소들이므로 변하지 않는다. 즉, $p(x)$의 $\overline{K}$에서의 인수 분해는

$p(x)=a_n(x-{\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(b_1))\cdots (x-{\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(b_n))$

이다. $\overline{K}[x]$는 유일 인수 분해 정역이므로, $p(x)$의 두 인수 분해는 일치한다. 즉, $\{b_1,\dots ,b_n\}$과 $\{{\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(b_1),\dots ,{\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(b_n)\}$은 중복집합으로서 같고, 특히 집합으로서 같다. 그런데 $S$는 모든 $p$들에 대한 $\{b_1,\dots ,b_n\}$들의 합집합이며, ${\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(S)$는 모든 $p$들에 대한 $\{{\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(b_1),\dots ,{\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(b_n)\}$들의 합집합이다. 따라서, $S={\tilde{\iota }}_{L\overline{K}}(S)$이다.

셋째 조건 ⇒ 첫째 조건. $K$를 부분체로 포함하는 $L$을 부분체로 포함하는 $K$의 대수적 폐포 $K\subseteq L\subseteq \overline{K}$를 잡자. 기약 다항식 $p\in K[x]$ 및 $p$의 근 $a\in L$ 및 $p$의 근 $b\in \overline{K}$가 주어졌다고 하자. 이제, 다음과 같은 함수를 생각하자.

$K(a)\to K(b)$

$f(a)\mapsto f(b)(\mathrm{\forall }f\in K[x])$

만약 $f(a)=g(a)$라면, $(f-g)(a)=0$이므로 $p(x)\mid f(x)-g(x)$이며, 따라서 $f(b)=g(b)$이다. 즉, 이 함수는 잘 정의된다. 마찬가지로, 만약 $f(b)=g(b)$라면 $f(a)=g(a)$이다. 즉, 이 함수는 단사 함수이다. 이 함수는 자명하게 환 준동형이다. 또한, 이는 자명하게 전사 함수이며, $K$의 원소를 움직이지 않으므로, 체의 확대 $K(a)/K$와 $K(b)/K$ 사이의 동형 사상을 이룬다. $L/K(a)$는 대수적 확대이며, $\overline{K}$는 $K(b)$의 대수적 폐포를 이루므로, 이 동형 사상을 확장하는 체의 매장

$\iota :L\hookrightarrow \overline{K}$

$\iota {|}_K={\mathrm{id}}_K$

$\iota :a\mapsto b$

가 존재한다. 이는 초른 보조정리을 통해 보일 수 있다. 가정한 셋째 조건에 따라, $\iota (L)=L$이며, 특히 $b=\iota (a)\in \iota (L)=L$이다. 이에 따라, $L$은 $p$의 모든 근을 포함하며, $p$는 $L$에서 1차 다항식들의 곱으로 나타낼 수 있다. 틀:증명 끝 대수적 확대 $L/K$의 정규 폐포(正規閉包, 틀:Llang)는 다음 두 조건을 만족시키는 체의 확대 $N/L$이다.

• $N/K$는 정규 확대이다.
• 임의의 중간체 $L\subseteq M\subseteq N$에 대하여, 만약 $M/K$가 정규 확대라면, $M=N$이다.

임의의 대수적 확대는 정규 폐포를 가지며, 체의 확대의 동형 아래 유일하다. 구체적으로, 임의의 $a\in L$에 대하여 $p_a$가 $a$의 $L/K$에서의 최소 다항식이라고 하였을 때, $\{p_a:a\in L\}\subseteq K[x]$의 분해체는 $L/K$의 정규 폐포를 이룬다. 또한, 대수적 폐포 $\overline{K}/L/K$가 주어졌을 때, $\overline{K}$ 속 $L/K$의 정규 폐포는 다음과 같다.

$N=K(\bigcup _{\sigma \in \mathrm{hom}(L,\overline{K})}^{\sigma {|}_K={\mathrm{id}}_K}\sigma (L))\subseteq \overline{K}$

여기서

$K\left(\bigcup _{i\in I}{K}_i\right)=\{\frac{a_1+\cdots +a_m}{b_1+\cdots +b_n}:a_1\in K_{i_1},\dots ,a_m\in K_{i_m},b_1\in K_{j_1},\dots ,b_n\in K_{j_n},i_1,\dots ,i_m,j_1,\dots ,j_n\in I\}$

는 주어진 체 $L/K_i/K$들을 포함하는 최소의 체이다.

분류

임의의 정규 확대 $L/K$에 대하여,

$M=\{\begin{array}{cc}K& \mathrm{char}K=0\\ \{a\in L|\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}:a^{p^n}\in K\}& \mathrm{char}K=p>0\end{array}$

가 $L/K$의 최대 완전 비분해 부분 확대라고 하자. 그렇다면, $L/M$은 갈루아 확대이다. (반대로, 완전 비분해 확대의 갈루아 확대는 항상 정규 확대이다.)

성질

체 $K$의 유한 차수 대수적 분해 가능 확대 $L/K$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $L/K$는 정규 확대이다.
• $L$은 어떤 기약 다항식 $p\in K[x]$의 분해체 $K[x]/(p)$와 동형이다.

대수적 확대 $L/K$의 정규 폐포 $N/L$에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• $L/K$가 유한 확대라면, $N/K$ 역시 유한 확대이다.
• $L/K$가 분해 가능 확대라면, $N/K$은 갈루아 확대이다. 이 경우 $N/L$을 $L/K$의 갈루아 폐포(틀:Llang)라고 한다.

체의 확대의 탑 $M/L/K$에 대하여, 만약 $M/K$가 정규 확대라면, $M/L$ 역시 정규 확대이다. 체의 확대의 다이아몬드 $M\supseteq L,L^{\prime }\supseteq K$에 대하여, 만약 $L/K$가 정규 확대라면, $K(L\cup L^{\prime })/L^{\prime }$ 역시 정규 확대이다. 체의 확대 $M/K$의 부분 확대 $M\supseteq L_i\supseteq K$($i\in I$)들에 대하여, 만약 모든 $L_i/K$가 정규 확대라면, $K\left(\bigcup _{i\in I}{L}_i\right)/K$와 $\bigcap _{i\in I}{L}_i/K$ 역시 정규 확대이다. 정규 확대의 정규 확대는 정규 확대일 필요가 없다. 예를 들어, 대수적 확대 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})/\mathbb{Q}$는 두 번의 정규 확대

$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})/\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$

로 얻어지지만, $x^4-2$의 허근들을 포함하지 않으므로 정규 확대가 아니다.

예

대수적 확대 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$는 정규 확대이다.

대수적 확대 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$는 정규 확대가 아니다. $\mathbb{Q}[x]$의 기약 다항식 $x^3-2$는 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$에서

$x^3-2=(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+(\sqrt[3]{2}{)}^2)$

이므로 하나의 근을 갖지만 완전히 인수분해되지 않는다.

모든 갈루아 확대는 정규 확대이다. 모든 순수 비분해 확대는 정규 확대이다.

같이 보기

• 갈루아 확대

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드