비가환 기하학

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 비가환 기하학(非可換幾何學, 틀:Llang, NCG)는 비가환 C* 대수를 마치 어떤 기하학적 구조 위에 존재하는 함수대수처럼 간주하여 기하학적으로 다루는 분야다.

개론

겔판트 표현 정리(틀:Llang)에 따라, 모든 가환 C* 대수는 어떤 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 위에 존재하는 함수대수와 동형이다. 즉, (국소 콤팩트 하우스도르프) 위상 공간을 연구하는 것은 그 위에 존재하는 함수대수를 연구하는 것과 같으며, 위상 공간의 여러 성질들을 그 함수대수의 성질로 나타낼 수 있다. 물론, 이러한 함수대수들은 모두 가환대수다.

이 위상 공간/C* 대수 이중성을 비가환 C* 대수에 대하여 확장하려 한다고 하자. 즉, 비가환 C* 대수를 어떤 (실재하지 않는 가상의) "위상 공간" 위에 존재하는 함수대수로 간주하여, 기하학적인 기법으로 연구할 수 있다. 즉, 비가환 C* 대수는 "비가환 위상 공간" 위의 함수대수다. 예를 들어, 비가환 원환면이라고 불리는 비가환 C* 대수는 마치 원환면 위의 함수대수와 여러 가지 유사한 성질을 지녀, "비가환" 원환면 위의 함수대수로 생각할 수 있다. 마찬가지로, 퍼지 구는 일반 구를 일반화한 것으로 볼 수 있다.

리만 다양체의 구조는 함수 대수에 스피너에 대한 미분 연산자 (디랙 연산자)를 추가한, 소위 스펙트럼 삼조로 나타내어진다. 이는 알랭 콘이 증명하였다. 따라서, 비가환 스펙트럼 삼중은 비가환 리만 다양체 위의 함수대수로 간주할 수 있다.

개념 및 도구

비가환 공간 위에는 가환공간과 유사하게 호흐실트 호몰로지(Hochschild homology)나 순환 호몰로지(cyclic homology)와 같은 호몰로지 및 연산자 K이론을 통한 K이론을 정의할 수 있다. 또한, 비가환 대수기하학도 존재한다.

물리학에서의 비가환성

비가환 기하학은 양자장론 및 끈 이론에서 널리 쓰인다.

비가환 기하학과 쌍극자

공간 좌표의 비가환성은 대략 균일한 자기장 속에 존재하는 전기 쌍극자처럼 생각할 수 있다.

$xy$ 평면에서, 균일한 자기장 $B\widehat{𝐳}$를 생각하자. 이 속에, 전하가 $\pm q$이고 질량이 $m$인 두 입자가 존재하고, 이들 사이에 조화 진동자 퍼텐셜

$V(\Vert {𝐱}_1-{𝐱}_2\Vert )=\frac{1}{2}k({𝐱}_1-{𝐱}_2{)}^2$

이 존재하여 이 두 입자가 전기 쌍극자로 묶여 있다고 하자. 이 경우, 라그랑지언 $L$은 다음과 같다.

$L=\frac{1}{2}m({\dot{𝐱}}_1^2+{\dot{𝐱}}_2^2)+\frac{1}{2}qB{ϵ}_{ij}({\dot{x}}_1^i{x}_1-{\dot{x}}_2^i{x}_2^j)-\frac{1}{2}k({𝐱}_1-{𝐱}_2{)}^2$

이제, 쌍극자 질량 중심의 위치

$𝐗=({𝐱}_1+{𝐱}_2)/2$

와 쌍극자의 크기

$\mathrm{\Delta }=({𝐱}_1-{𝐱}_2)/2$

를 정의하자. 이 변수로 쓰면, 라그랑지언은 다음과 같다.

$L=2m\dot{𝐗}\cdot \dot{\mathrm{\Delta }}+qB{ϵ}_{ij}{\dot{X}}^i{\mathrm{\Delta }}^j-2k{\mathrm{\Delta }}^2$

라그랑지언으로부터, 쌍극자 질량 중심 $𝐗$에 대응하는 일반화 운동량 $𝐏$는 다음과 같다.

$P_i=\frac{\delta L}{\delta {\dot{X}}^i}=2m{\dot{\mathrm{\Delta }}}^i+qB{ϵ}_{ij}{\mathrm{\Delta }}^j$

따라서, 이 계를 양자화하려면 다음과 같은 정준 교환 관계

$[X^i,P_j]=i\hslash {\delta }_j^i$

를 가한다.

이제, 입자들의 질량 $m$이 매우 작아 무시할 수 있다고 하자. 그렇다면

$P_i=qB{ϵ}_{ij}{\mathrm{\Delta }}^j$

이다. 즉, 쌍극자의 크기는 그 운동량과 비례한다. 따라서

$[X^i,{\mathrm{\Delta }}^j]=i\hslash {ϵ}^{ij}/(qB)$

이다. 다시 원래 변수 ${𝐱}_1=𝐗+\mathrm{\Delta }$, ${𝐱}_2=𝐗-\mathrm{\Delta }$로 바꾸면

$[x_1^i,x_2^j]=-2i\hslash {ϵ}^{ij}/qB$

기 된다. 따라서, 자기 쌍극자의 양끝의 좌표가 가환하지 않는 것을 알 수 있다.

이에 따라서, 비가환 평면에 존재하는, 운동량 $𝐩$를 가진 평면파 $\exp (i𝐩\cdot 𝐱)$는 크기가 그 운동량에 비례하는 쌍극자로 간주할 수 있다.틀:Rp

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

같이 보기

• 양자군
• 초다양체

외부 링크

• 틀:저널 인용