스펙트럼 삼조

틀:위키데이터 속성 추적 비가환 기하학에서 스펙트럼 삼조(spectrum三組, 틀:Llang)는 스핀 다양체의 개념의 비가환 일반화이다.

정의

스펙트럼 삼조 $(H,𝒜,D)$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $H$는 복소수 힐베르트 공간이다.
• $𝒜\subseteq \mathrm{B}(H,H)$는 $H$ 속의 유계 작용소들의 집합이며, 덧셈 · 스칼라곱 · 합성 · 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있다 (즉, 복소수 대합 대수를 이룬다).
• $H$의 조밀 부분 벡터 공간 $V\subseteq H$ 위에 정의된 자기 수반 작용소 $D:V\to H$.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

임의의 $A\in 𝒜$에 대하여, $\Vert [A,D]\Vert <\mathrm{\infty }$. 여기서 $\Vert \Vert$는 작용소 노름이다.

예

콤팩트 스핀 다양체 $M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 스피너 다발의 L² 단면 공간

$H={\mathrm{\Gamma }}_{{\mathrm{L}}^2}(\mathrm{S}M)$

은 분해 가능 복소수 힐베르트 공간을 이룬다. 그 위의 디랙 연산자

$\mathrm{\nabla }:(\mathrm{dom}\mathrm{\nabla }\subseteq H)\to H$

는 $H$의 조밀 부분 벡터 공간 위에 정의된 자기 수반 작용소이다. 또한, $M$ 위의 2-르베그 공간은 $H$ 위에 점별 곱셈으로 작용한다.

$A={\mathrm{L}}^2(M;ℂ)$

$A\times H\to H$

$(f,\psi )\mapsto (x\mapsto f(x)\psi (x))$

이에 따라 $A\subseteq \mathrm{B}(H,H)$로 간주할 수 있다. 그렇다면, $(M,A,\mathrm{\nabla })$는 스펙트럼 삼조를 이룬다.

역사

알랭 콘이 “스펙트럼 삼조”라는 용어를 1995년에 도입하였다.

외부 링크

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