비가환 원환면

틀:위키데이터 속성 추적 비가환 기하학에서 비가환 원환면(非可換圓環面, 틀:Llang)은 C* 대수의 하나다. (가환) 원환면 위에 존재하는 연속 함수들의 C* 대수를 일반화한 것이다.

정의

추상적 정의

단위원을 갖는 복소수 C* 대수의 범주에서 집합으로 가는 망각 함자를 생각하자.

$U:\mathrm{C*Alg}\to \mathrm{Set}$

이는 왼쪽 수반 함자

$F:\mathrm{Set}\to \mathrm{C*Alg}$

를 가지며, 이를 통해 자유 C* 대수를 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 부분 집합이 주어졌을 때, 이를 포함하는 C*-아이디얼을 정의할 수 있으며, 이에 대한 몫은 주어진 생성원과 관계로 생성되는 자유 C* 대수이다.

이제, $n$개의 생성원 $U_1,\dots ,U_n$으로 생성되는 자유 C* 대수 $A_n$을 생각하자. 반대칭 $n\times n$ 실수 행렬

$\theta \in 𝔬(n;ℝ)$

가 주어졌을 때, 다음과 같은 원소로 정의되는 C* 아이디얼 ${\Im }_{\theta }$를 생각하자.

$U_i{V}_j=\exp (2\pi \mathrm{i}{\theta }_{ij})U_j{V}_i$

이에 대한 몫인 C* 대수

$A_{n,\theta }=A_n/{\Im }_{\theta }$

를 $\theta$로 정의되는 $n$차원 비가환 원환면(틀:Llang)이라고 한다.

만약 $\theta =0$일 경우, 이는 가환 C* 대수이며, 이는 $n$차원 원환면 위의 복소수 값 연속 함수의 C* 대수와 동형이다. 원환면의 좌표가

${𝕋}^n={ℝ}^n/{\mathbb{Z}}^n=\{(x_1+\mathbb{Z},\dots ,x_n+\mathbb{Z}):x_1,\dots ,x_n\in ℝ\}$

일 경우 이 대응은 다음과 같이 고를 수 있다.

$A_{n,0}\mapsto {𝒞}^0({𝕋}^n,ℂ)$

$U_i\mapsto \exp (2\pi \mathrm{i}{x}_i)$

기하학적 정의

무리수 $\theta \in ℝ$가 주어졌다고 하자. 이제, 원 ${𝕊}^1=\{z\in ℂ:|z|=1\}$ 위의 복소수 값 제곱 적분 가능 함수의 르베그 공간

${\mathrm{L}}^2({𝕊}^1;ℂ)$

를 생각하자. 그 위의 다음과 같은 두 유계 작용소를 정의할 수 있다.

$U:{\mathrm{L}}^2({𝕊}^1;ℂ)\to {\mathrm{L}}^2({𝕊}^1;ℂ)$

$V:{\mathrm{L}}^2({𝕊}^1;ℂ)\to {\mathrm{L}}^2({𝕊}^1;ℂ)$

$Uf(z)=zf(z)$

$Vf(z)=f(\exp (-2\pi \mathrm{i}\theta )z)$

즉, 이들은 다음과 같은 교환 관계를 따른다.

$UV=\exp (2\pi \mathrm{i}\theta )VU$

그렇다면, 유계 작용소의 C* 대수 $\mathrm{B}({\mathrm{L}}^2({𝕊}^1;ℂ))$ 속에서, $U$와 $V$로 생성되는 부분 C* 대수를 생각할 수 있다. 이는 사실 관계 $UV=\exp (2\pi \mathrm{i}\theta )VU$에 의하여 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 C* 대수이다. 이를 2차원 비가환 원환면 ${𝕋}_{\theta }^2$라고 한다.

성질

두 비가환 원환면 ${𝕋}_{\theta }^2$와 ${𝕋}_{{\theta }^{\prime }}^2$는 다음과 같을 경우 서로 동형(isomorphic)이다.

$\theta +{\theta }^{\prime }\in \mathbb{Z}$ 또는 $\theta -{\theta }^{\prime }\in \mathbb{Z}$

두 비가환 원환면 ${𝕋}_{\theta }$와 ${𝕋}_{{\theta }^{\prime }}$는 다음과 같을 경우 서로 강하게 모리타 동치(strongly Morita equivalent)이다.

${\theta }^{\prime }=\frac{a\theta +b}{c\theta +d}$

여기서

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$

이다. 즉, 비가환 원환면의 모리타 동치는 모듈러 군 SL(2,ℤ)를 따른다. 이는 M이론으로 설명할 수 있다.

외부 링크

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