피카르 군

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학에서 피카르 군(Picard群, 틀:Llang)은 환 달린 공간 위에 존재하는 가역층들의 군이다.

정의

$X$가 환 달린 공간이라고 하자. 그렇다면 $X$ 위에 존재하는 가역층(가역 선다발)들의 집합을 생각하자. 이 집합에 텐서곱을 통해 군의 연산을 줄 수 있다. 이 군을 피카르 군 $\mathrm{Pic}(X)$이라고 한다. 이는 층 코호몰로지를 사용하여

$\mathrm{Pic}(X)=H^1(X;{𝒪}_X^{\times })$

와 같이 정의할 수도 있다.

피카르 스킴

대수적으로 닫힌 체 $K$에 대한 사영 공간의 부분 스킴인 정역 스킴에 대하여, 피카르 군에 $K$-스킴의 주조를 줄 수 있는데, 이를 피카르 스킴(틀:Llang) ${\mathrm{Pic}}_{X/K}$이라고 한다.

피카르 스킴에서, 원점을 포함하는 연결 성분을 ${\mathrm{Pic}}^0(X)$라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to {\mathrm{Pic}}^0(X)\to \mathrm{Pic}(X)\to \mathrm{Pic}(X)/{\mathrm{Pic}}^0(X)\to 1$

여기서 몫군 $\mathrm{Pic}(X)/{\mathrm{Pic}}^0(X)$을 네롱-세베리 군(틀:Llang)이라고 하며, $\mathrm{NS}(X)$로 쓴다. 네롱-세베리 군의 계수를 피카르 수(틀:Llang) $\rho (X)$라고 한다. 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군 $\mathrm{N}{\mathrm{S}}_{\mathrm{tors}}(X)$의 크기를 세베리 수(틀:Llang)라고 한다.

성질

대수적으로 닫힌 체 위의 완비 비특이 대수다양체 $X$의 네롱-세베리 군은 유한 생성 아벨 군이며, (네롱-세베리 정리 틀:Llang) 또한 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군 $\mathrm{N}{\mathrm{S}}_{\mathrm{tors}}(X)$은 쌍유리 동치에 대하여 불변이다.

예

체 $K$에 대한 $n$차원 사영 공간 ${\mathbb{P}}_K^n$의 경우, 가역층들은 $𝒪(m)$ ($m\in \mathbb{Z}$)이고, 이들은 $𝒪(m_1)\otimes 𝒪(m_2)\cong 𝒪(m_1+m_2)$를 만족한다. 따라서 ${\mathbb{P}}_K^n$의 피카르 군은 무한 순환군 $\mathbb{Z}$와 동형이다.

데데킨트 정역의 피카르 군은 그 아이디얼 유군이다.

체 $K$에 대하여, 두 개의 $\mathrm{Spec}K[x]$를 0이 아닌 원소들의 열린 집합 $\mathrm{Spec}K[x]\setminus \mathrm{Spec}K[x]/(x)$에서 이어붙이면, 원점이 두 개인 아핀 직선을 얻는다. 이 경우, 피카르 군은 무한 순환군 $\mathbb{Z}$와 동형이다.

역사

피카르 군은 에밀 피카르의 이름을 땄다. 네롱-세베리 군은 앙드레 네롱과 프란체스코 세베리의 이름을 땄다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드

같이 보기

• 야코비 다양체
• 알바네세 다양체
• 선다발
• 가역층
• 인자 (대수기하학)