여과 (수학)

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 여과(濾過, 틀:Llang)는 전순서 집합으로 지표화된 일련의 부분 대상들로 구성된 구조이다.

정의

범주 $𝒞$의 대상 $X\in 𝒞$이 주어졌다고 하자. 그 위의, 부분 대상의 부분 순서 집합 $\mathrm{Sub}(X)$을 정의할 수 있다.

전순서 집합 $I$에 대하여, $X$ 위의 $I$-오름 여과(틀:Llang)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 전순서 집합 $(I,\le )$
• 순서 보존 함수 $I\to \mathrm{Sub}(X)$, $i\mapsto X_i$.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$\underset{i\in I}{\underrightarrow{\lim }}{X}_i=X$

$X$ 위의 $I$-내림 여과(틀:Llang)는 $I^{\mathrm{op}}$-올림 여과와 같은 개념이다.

흔히 $I$의 경우 보통 자연수의 전순서 집합 $(\mathbb{N},\le )$이 사용된다.

마찬가지로, 부분 대상의 집합 $\mathrm{Sub}(X)$ 대신 몫 대상의 집합 $\mathrm{Quot}(X)$을 사용하면 쌍대 여과(틀:Llang)의 개념을 정의할 수 있다. 이는 반대 범주 ${𝒞}^{\mathrm{op}}$에서의 여과와 같다.

예

가군

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 ${}_{R}M$ 위의 $\mathbb{N}$-감소 여과

$M=M_0\supseteq M_1\supseteq M_2\cdots M$

가 주어졌다고 하자. 이 경우, $M$에 다음과 같은 기저로 정의되는 자연스러운 위상을 부여할 수 있다.

$\{m+M_i:i\in \mathbb{N},m\in M\}$

이러한 위상이 하우스도르프 공간이 될 필요 충분 조건은

$\bigcap _{i\in \mathbb{N}}{M}_i=\{0\}$

인 것이다.

특히, 만약 $R$의 양쪽 아이디얼 $𝔦$가 주어졌을 때, 여과

$M_i={𝔦}^{i}M$

에 대응되는 위상은 $𝔦$진 위상(틀:Llang)이라고 한다. 이는 대수기하학에서 등장한다.

결합 대수

가환환 $R$ 위의 결합 대수 $A$가 주어졌으며, 그 위에 $R$-가군으로서의 $\mathbb{N}$-올림 여과

$A_0\subseteq A_1\subseteq \cdots A_{\mathrm{\infty }}=A$

가 주어졌다고 하자. (그러나 이는 $R$-결합 대수로서의 여과가 아닐 수 있다.) 또한, 이 여과가 결합 대수 구조와 다음과 같이 호환된다고 하자.

$A_i{A}_j\subseteq A_{i+j}\mathrm{\forall }i,j\in \mathbb{N}$

(특히, $1_A\in A_0$이어야 한다.) 그렇다면, 다음과 같은 $R$-등급 대수를 정의할 수 있다.틀:Rp

$\mathrm{gr}A=A_0\oplus \underset{i\in \mathbb{N}}{⨁}\frac{A_{i+1}}{A_i}$

그 위의 곱셈은 다음과 같다.

$(a+A_i)(b+A_j)=ab+A_{i+j}\mathrm{\forall }i,j\in \mathbb{N},a\in A_{i+1},b\in A_{j+1}$

$(a+A_i)b=ab+A_i\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N},a\in A_{i+1},b\in A_0$

$b(a+A_i)=ba+A_i\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N},a\in A_{i+1},b\in A_0$

이 경우

$1_{\mathrm{gr}A}=1_A$

이다.

여기서 자연스러운 결합 대수 사상

$A\to \mathrm{gr}A$

$a\mapsto a+A_{i-1}\mathrm{\forall }a\in A_i$

을 기호 사상(記號寫像, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

벡터 공간

선형대수학에서, 체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$의 오름 여과

$V_0\subseteq V_1\subseteq \cdots \subseteq V$

에서, 만약 모든 포함 관계가 자명하지 않다면, 즉

$V_0⊊V_1⊊\cdots$

이라면, 이를 기(旗, 틀:Llang)라고 한다.

시그마 대수

$(T,\lesssim )$가 원순서 집합이라고 하자. 시그마 대수 $\mathrm{\Sigma }$ 위의 (오름) 여과는 순서 보존 함수

$T\to \mathrm{Sub}(\mathrm{\Sigma })$

$t\mapsto {\mathrm{\Sigma }}_t$

를 뜻한다. 즉, 다음 조건이 성립하여야 한다.

임의의 $t,t^{\prime }\in T$에 대하여, ${\mathrm{\Sigma }}_t\subseteq {\mathrm{\Sigma }}_{t^{\prime }}$

여기서 $\mathrm{Sub}(\mathrm{\Sigma })$는 $\mathrm{\Sigma }$의 부분 시그마 대수들의 (부분 집합 관계에 대한) 부분 순서 집합이다. 여기서, $T$의 원소는 보통 "시간"이라고 불린다.

여과를 갖춘 시그마 대수를 여과 시그마 대수(濾過σ代數, 틀:Llang)라고 하며, 마찬가지로 여과 확률 공간(濾過確率空間, 틀:Llang) 따위를 정의할 수 있다.

이는 금융공학에서 가격의 움직임을 모형화하는 데 중요하게 쓰인다. 이 경우 ${\mathrm{\Sigma }}_t$는 시점 $t$에 시장에 공개된 정보의 양을 나타내며, 따라서 여과를 통해 가격을 ${\mathrm{\Sigma }}_t$-마팅게일로 만듦으로써 완전 시장을 모형화할 수 있다.

같이 보기

• 여과 확률 공간
• 필터 (수학)

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:매스월드
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• 틀:Nlab
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