토브-너트 공간

틀:위키데이터 속성 추적 일반 상대성 이론에서 토브-너트 공간(-空間, 틀:Llang 틀:IPA)은 아인슈타인 방정식의 4차원 진공해이며, 특히 4차원 초켈러 다양체이자 점근 국소 평탄 공간이다. 이 해는 여러 매우 특이한 성질들을 가진다.

정의

토브-너트 공간은 4차원 비콤팩트 초켈러 다양체이며, ${ℝ}^4$와 미분 동형이다.틀:Rp 이는 다양한 방법으로 구성할 수 있다.

기번스-호킹 가설 풀이를 통한 구성

그 위의 계량은 기번스-호킹 가설 풀이로 다음과 같이 주어진다. 우선, 좌표

$\tau \in ℝ/(4\pi \mathbb{Z})$

$\overrightarrow{r}\in {ℝ}^3$

를 정의하자. 그렇다면, 토브-너트 공간의 계량은 다음과 같다.

$\mathrm{d}{s}^2=V(|\overrightarrow{r}|)\mathrm{d}{\overrightarrow{r}}^2+\frac{1}{V(|\overrightarrow{r}|)}(\mathrm{d}\tau +\omega {)}^2$

$V(|\overrightarrow{r}|)=L+\frac{1}{2|\overrightarrow{r}|}$

여기서

$\omega =\overrightarrow{\omega }\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}\in {\mathrm{\Omega }}^1({ℝ}^3)$

는 ${ℝ}^3$ 위의 1차 미분 형식 가운데

$\mathrm{d}\omega =\star \mathrm{d}V$

인 것이다. 이는 사실 ${𝕊}^3$ 위의 1차 미분 형식으로 확장될 수 있다. $L$과 $M$은 상수이다. 여기서 $L$은 무한대에서 호프 원다발의 올의 크기 $4\pi /\sqrt{L}$를 결정하는 상수이다.

일반 상대성 이론에서는 이 해를 로런츠 계량 부호수 −+++로 해석적 연속을 취할 수 있다. 이는 $\tau \mapsto \mathrm{i}t$의 치환에 해당한다.

보다 일반적으로, $V$를

$V(\overrightarrow{r})=L+\sum _{i=1}^N\frac{1}{2|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{R}}_i|}$

로 치환한다면, 여러 개의 토브-너트들이 공존하는 다중 토브-너트 공간(틀:Llang)을 얻는다. 이는 A형 점근 국소 평탄 공간에 해당한다.

초켈러 축소를 통한 구성

토브-너트 공간은 심플렉틱 몫공간 연산을 통해 정의할 수 있다.틀:Rp

구체적으로, 초켈러 공간

${ℝ}^4\times {ℝ}^3\times \frac{ℝ}{\beta \mathbb{Z}}$

위에서 U(1)의 작용을 생각하자. 구체적으로, 평탄한 유클리드 공간 ${ℝ}^4$ 위의 적절한 좌표계 $(\overrightarrow{r}=(r_1,r_2,r_3),\psi )$에서 평탄한 리만 계량은 기번스-호킹 가설 풀이로 다음과 같다.

$\mathrm{d}{s}^2=\frac{1}{|\overrightarrow{r}|}\mathrm{d}{\overrightarrow{r}}^2+|\overrightarrow{r}|(\mathrm{d}\psi +\overrightarrow{\omega }\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}}r)$

여기서 $\psi \sim \psi +4\pi$이며,

$\overrightarrow{\omega }=({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3)$

은

${ϵ}_i{}^{jk}{\partial }_j{\omega }_k={\partial }_i\frac{1}{|\overrightarrow{r}|}$

을 따른다. 즉, 미분 형식 표기법으로는

$\omega ={\omega }_i\mathrm{d}{r}^i$

$\star \mathrm{d}\omega =\mathrm{d}\frac{1}{|\overrightarrow{r}|}$

이다. 마찬가지로, ${ℝ}^3\times {𝕊}^1$ 위의 좌표를 $(\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,x_3),\theta )$라고 하자. 그 위의 리만 계량은

$\mathrm{d}{s}^2=L\mathrm{d}{\overrightarrow{x}}^2+L^{-1}\mathrm{d}{\theta }^2$

$\beta =4\pi L^{-1/2}$

이며, $\theta \sim \theta +4\pi$이다. 이 위에 U(1)의 작용은

$\exp (\mathrm{i}t):(\psi ,\theta )\mapsto (\psi +t,\theta +t)$

이며, 초켈러 운동량 사상은

$\overrightarrow{\mu }=\overrightarrow{r}+\overrightarrow{x}$

이다.

초켈러 운동량 사상에 대한 0의 원상은 $\overrightarrow{r}=-\overrightarrow{x}$에 해당한다. 즉, 게이지 불변 좌표 $\chi =\psi -\theta$를 정의하며 원상의 좌표는

$\mathrm{d}{s}^2=V(\overrightarrow{r})\mathrm{d}{\overrightarrow{r}}^2+V(\overrightarrow{r}{)}^{-1}(\mathrm{d}\chi +\overrightarrow{\omega }\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}{)}^2+(r+{\lambda }^2){(\mathrm{d}\theta +\frac{|\overrightarrow{r}|}{|\overrightarrow{r}|+L^{-1}}(\mathrm{d}\chi +\overrightarrow{\omega }\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}))}^2$

$V(\overrightarrow{r})=\frac{1}{|\overrightarrow{r}|}+L$

이다. U(1) 게이지 변환에 대한 동치류를 취하려면, 킬링 벡터장 $\partial /\partial \theta$에 대한 직교 성분을 취해야 하므로, 마지막 항을 생략하는 것에 해당한다. 즉, 구체적 계량

$\mathrm{d}{s}^2=V(\overrightarrow{r})\mathrm{d}{\overrightarrow{r}}^2+V(\overrightarrow{r}{)}^{-1}(\mathrm{d}\chi +\overrightarrow{\omega }\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}{)}^2+(r+{\lambda }^2)$

을 얻는다.

남 방정식을 통한 구성

토브-너트 공간을 정의하는 활 그림(틀:Llang)

토브-너트 공간은 활 그림(틀:Llang)으로 구성할 수 있다.틀:Rp 구체적으로, 이에 대응되는 활은 다음과 같다.

• 하나의 구간과 하나의 변으로 구성된다.
• 구간의 길이는 $L$ (기번스-호킹 가설 풀이에서 퍼텐셜의 상수항)이다.
• 구간 위의 벡터 다발의 차원은 1이다. (즉, 선다발이다.)

즉, 그 해는 남 방정식

$T_0,T_1,T_2,T_3:[-L/2,L/2]\to ℝ$

$(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}-\mathrm{i}{T}_0)\overrightarrow{T}(s)=0$

및 복소수

$B_0,B_1\in ℂ$

로 정의된다. $B_0,B_1$은 선다발의, 구간 양끝의 올 사이의 (쌍방향의) 선형 변환에 해당한다.

이 위에는 게이지 군

${𝒞}^{\mathrm{\infty }}([-L/2,L/2],\mathrm{U}(1))$

이 작용한다. 게이지 군의 원소

$g:[-L/2,L/2]\to \mathrm{U}(1)$

는 다음과 같이 작용한다.

$T_0\mapsto g^{-1}{T}_{0}g+\mathrm{i}{g}^{-1}\dot{g}$

$T_i\mapsto g^{-1}{T}_{i}g$

$B_0\mapsto g^{-1}(-L/2)B_{0}g(l/2)$

$B_1\mapsto g^{-1}(L/2)B_{0}g(-l/2)$

이를 사용하여, 게이지 퍼텐셜 $T_0$을 상수 함수로 놓을 수 있다. 그렇다면, 남 방정식에 따라서 $T_1,T_2,T_3$ 역시 상수 함수가 된다.

$\underset{(T_0,T_1,T_2,T_3)}{\underbrace{{𝕊}^1\times {ℝ}^3}}\times \underset{B_0,B_1}{\underbrace{{ℝ}^4}}///\mathrm{U}(1)$

즉, 이는 ${ℝ}^4\times {ℝ}^3\times {𝕊}^1$의 초켈러 축소로 귀결된다.

성질

점근적 형태

토브-너트 계량은 점근 국소 평탄 공간이다. 즉, $|\overrightarrow{r}|\to \mathrm{\infty }$ 극한에서, 토브-너트 계량은 ${𝕊}^1\times {ℝ}^3$의 꼴을 가진다. ${ℝ}^3$의 무한인 ${𝕊}^2$ 위에서, ${𝕊}^1$은 호프 올뭉치의 꼴을 하며, 따라서 등각 무한의 위상은 사실 ${𝕊}^3$가 된다. 이 경우, ${𝕊}^1$은 무한대에서 유한한 크기를 갖는다.

다중 토브-너트 공간도 마찬가지로 점근 국소 평탄 공간을 이루며, 이 경우 일반적으로 등각 무한은

${𝕊}^3/\mathrm{Cyc}(n)=\frac{\{(z,w)\in {ℂ}^2:|z{|}^2+|w{|}^2=1\}}{(z,w)\sim (tz,tw)(t^n=1)}$

의 꼴이다. 이들은 역시 올다발

${𝕊}^1\hookrightarrow {𝕊}^3/\mathrm{Cyc}(n)\twoheadrightarrow {𝕊}^2$

$[(z,w)]\mapsto (|z{|}^2-|w{|}^2,2z\overline{w})$

를 구성한다.

극한

$L\to 0$ 극한을 취하면, 이 해들은 점근 국소 유클리드 공간을 이룬다. 이 경우 마찬가지로 ALE 분류가 존재하며, 가장 간단한 경우는 에구치-핸슨 공간이다.

대칭

토브-너트 공간의 등거리 대칭군은

$\mathrm{U}(2)\cong \frac{\mathrm{U}(1)\times \mathrm{SU}(2)}{\mathrm{Cyc}(2)}$

이다.틀:Rp 여기서 $\mathrm{SU}(2)$는

$\mathrm{SO}(4)=\frac{\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)}{\mathrm{Cyc}(2)}$

의 한 부분군이며, 구체적으로 ${𝕊}^3$의 SO(4) 회전 가운데 $\omega$를 보존하는 것들이다. 즉, 토브-너트 공간은 4개의 킬링 벡터장을 갖는다.

이 대칭군은 토브-너트 공간 위에 추이적 작용을 가지므로, 토브-너트 공간은 동질 공간(틀:Llang)이다. 즉, 모든 점이 다 똑같이 보인다. 그러나 토브-너트 공간은 등방적(틀:Lang)이지 못하다. 즉, 주어진 점에서부터 서로 다른 방향들이 다르게 보인다.

SO(2) 대칭 아래서, 토브-너트 공간은 하나의 고정점을 가지며, 이는 고정점의 분류에서 (1,1)차 너트에 해당한다. 반대로, 볼트는 존재하지 않는다.

일반적 다중 토브-너트 공간의 대칭군은 $N\ge 3$일 때 O(2)이며, 이에 대한 고정점들은 모두 너트이다. 이는 기번스-호킹 가설 풀이의 퍼텐셜의 $N$개의 특이점들에 해당한다. $N=2$일 때는 대칭군은 U(1)×U(1)이며, 둘째 U(1)은 두 너트를 통과하는 축을 중심으로 하는 회전이다.

역사

에이브러햄 토브 (1968년 사진)

에이브러햄 해스켈 토브(틀:Llang, 1911〜1999)가 1951년에 발견하였다.틀:Rp 에즈라 시어도어 뉴먼(틀:Llang, 1929〜)과 루이스 탐부리노(틀:Llang), 시어도어 운티(틀:Llang)가 1963년에 토브의 해를 특이점을 넘겨 연장시켰다.

로런츠 부호수의 토브-너트 공간은 여러 기묘한 성질을 보이며, 이 때문에 찰스 미스너(틀:Llang, 1932〜)는 “토브-너트 공간은 거의 모든 명제에 대한 예외”라는 제목의 논문을 쓰기도 했다.

다중 토브-너트 공간은 스티븐 호킹이 1977년에 발견하였다.

응용

토브-너트 공간은 초켈러 다양체이므로, 끈 이론에서 매우 중요한 역할을 한다. 특히, M이론에서 D6-막은 토브-너트 공간으로 표현된다. 구체적으로, ⅡA종 초끈 이론에서, 어떤 7차원 준 리만 다양체 $M$이 주어졌을 때, $M\times {ℝ}^3$에서 $M$에 1개의 D6-막을 감은 상태는 M이론을 $M\times \mathrm{TN}$ 위에 축소화한 것에 해당한다.틀:Rp (여기서 TN은 토브-너트 공간을 뜻한다.) 여러 개의 D6-막을 감은 상태는 다중 토브-너트 공간에 해당한다.

로런츠 계량 부호수의 토브-너트 공간은 일반 상대성 이론의 해로 간주할 수 있다. 이 경우, 이 해는 여러 기묘한 성질을 가진다.틀:Rp

외부 링크

• 틀:Nlab