연관 다발

틀:위키데이터 속성 추적 위상수학에서 연관 다발(聯關-, 틀:Llang)은 위상군의 작용을 갖는 위상 공간 및 같은 위상군에 대한 주다발로부터 구성되는, 전자를 올로 갖는 올다발이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 $X$
• 위상군 $G$
• $G$-주다발 $\pi :P\to X$
• 위상 공간 $F$
• $G$의, 위상 공간 $F$ 위의 연속 왼쪽 작용 $\rho :G\times F\to F$

그렇다면, 다음과 같은 위상 공간을 생각하자.

$E=P{\times }_{G}F=\frac{P\times F}{(p,g\cdot f)\sim (p\cdot g,f)}$

이는 사영 함수

$\pi :[(p,v)]\mapsto p$

를 통해, 올이 $F$인, $X$ 위의 올다발을 이룬다. 이를 연관 다발이라고 한다.

연관 벡터 다발

특히, $F$가 유한 차원 실수 벡터 공간이며, $\rho :G\to \mathrm{GL}(V;ℝ)$가 $G$의 연속 유한 차원 실수 표현이라고 하자. 그렇다면, 연관 다발 $E$ 위에는 $V$로부터 오는, 표준적인 $B$ 위의 벡터 다발 구조가 존재한다. 즉, 각 올 $E_x$ 위에는 벡터 공간 구조

$t[(p,v)]=[(p,tv)](p\in P,v\in V,t\in ℝ)$

$[(p,v)]+[(p\cdot g^{-1},v^{\prime })]=[(p,v+\rho (g)v^{\prime })](p\in P,v,v^{\prime }\in V,g\in G)$

가 주어진다. 이를 $(X,G,P,V,\pi ,\rho )$의 연관 벡터 다발(틀:Llang)이라고 한다.

예

$G=\{\pm 1\}$가 2차 순환군이며,

$X={𝕊}^1=\frac{ℝ}{t\sim t+1\mathrm{\forall }t\in ℝ}$

가 원이라고 하자. 그렇다면, 원의 2겹 피복 공간

$\pi :{𝕊}^1\twoheadrightarrow {𝕊}^1$

$\pi :[t]\mapsto [2t]$

은 자연스럽게 $G$-주다발을 이룬다. 즉, 그 위의 $G$-작용은 다음과 같다.

$g:[t]\mapsto [t+\frac{1-g}{2}](g\in \{\pm 1\})$

$G$는 자연스러운 1차원 실수 표현

$g\cdot a=ga(g\in \{\pm 1\},a\in ℝ)$

을 가지며, 이에 대한 연관 벡터 다발은 (원 위의 1차원 벡터 다발로 여긴) 뫼비우스의 띠이다.

외부 링크

• 틀:Nlab