비트 벡터

틀:위키데이터 속성 추적 가환대수학에서 비트 벡터 환(Witt vector環, 틀:Llang)은 주어진 가환환 속의 열들의 집합 위에 줄 수 있는 특별한 가환환 구조이다. p진 정수환의 일반화이다.

정의

비트 다항식(틀:Llang)들은 다음과 같은 다항식열이다.

W_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{d ∣ n} d x_{d}^{n / d} \in ℤ [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}] \forall n \in ℤ^{+}

가환환 $R$ 가 주어졌을 때, $R$ 속의 열의 집합 $R^{ℤ^{+}}$ 위에 다음과 같은 자기 함수를 정의할 수 있다.

W_{n, R} : R^{ℤ^{+}} \to R^{ℤ^{+}}

W_{R} : (r_{1}, r_{2}, \dots) \mapsto (W_{1} (r_{1}), W_{2} (r_{1}, r_{2}), W_{3} (r_{1}, r_{2}, r_{3}), \dots)

그렇다면, 다음 두 조건을 만족시키는 다항식들

p^{(i)} \in ℤ [x_{1}, \dots, y_{1}, y_{2}, \dots] \forall i \in ℤ^{+}

s^{(i)} \in ℤ [x_{1}, \dots, y_{1}, y_{2}, \dots] \forall i \in ℤ^{+}

이 유일하게 존재한다.

$\vec{w} + {\vec{w}}^{'} = (s^{(1)} (\vec{w}, {\vec{w}}^{'}), s^{(2)} (\vec{w}, {\vec{w}}^{'}), \dots)$ 및 $(\vec{w}) ({\vec{w}}^{'}) = (p^{(1)} (\vec{w}, {\vec{w}}^{'}), p^{(2)} (\vec{w}, {\vec{w}}^{'}), \dots)$ 를 정의하였을 때, $R^{ℤ^{+}}$ 은 환을 이룬다. 이 환을 $WittVector (R)$ 이라고 하자.
$W : WittVector (R) \to R^{ℤ^{+}}$ 는 환 준동형을 이룬다. 여기서 정의역은 위에서 정의한 환 구조이며, 공역 $R^{ℤ^{+}}$ 은 가환환 $R$ 의 가산 무한 개 직접곱이다.

이 가환환을 $R$ 계수의 비트 벡터 환(틀:Llang)이라고 한다.

비트 벡터 환은 가환환의 범주 위의 자기 함자를 이룬다.

WittVector : CRing \to CRing

p-비트 벡터

가환환 $R$ 와 집합

1 \in S \subseteq ℤ^{+}

이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

d ∣ n, n \in S ⟹ d \in S

(즉, $S$ 는 약수에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 그렇다면, 비트 벡터 환의 환 준동형

W : WittVector (R) \to R^{ℤ^{+}}

에서, 아이디얼

R^{S} \subseteq R^{ℤ^{+}}

의 원상

W^{- 1} (R^{S}) = {WittVector}_{p} (R) \subseteq WittVector (R)

을 생각하자. 이 역시 곱셈에 대하여 가환환을 이루며, 이를 $R$ 계수의 $S$ -비트 벡터 환(틀:Llang)이라고 한다. (그러나 이는 $WittVector (R)$ 의 항등원을 포함하지 않으므로, $WittVector (R)$ 의 부분환이 아니다.) 그 위에는 마찬가지로 환 준동형

(W_{i})_{i \in S} : {WittVector}_{S} (R) \to R^{S} ≅ R^{ℤ^{+}}

이 존재한다. 이들 역시 다음과 같은 자기 함자를 정의한다.

{WittVector}_{S} : CRing \to CRing

특히, 소수 $p$ 에 대하여, $S = {1, p, p^{2}, p^{3}, \dots}$ 일 경우를 $R$ 계수의 $p$ -비트 벡터 환(틀:Llang)이라고 한다. 또한, 소수 $p$ 및 양의 정수 $n$ 에 대하여, $S = {1, p, p^{2}, \dots, p^{n}}$ 일 경우를 $R$ 계수의 길이 $n$ 의 $p$ -비트 벡터 환(틀:Llang)이라고 한다.

구체적으로, p-비트 벡터의 연산은 다음과 같다.

\vec{r} + \vec{s} = (r_{0} + s_{0}, r_{1} + s_{1} + (r_{0}^{p} + s_{0}^{p} - (r_{0} + s_{0})^{p}) / p, \dots)

\vec{r} \vec{s} = (r_{0} s_{0}, r_{0}^{p} s_{1} + s_{1} r_{0}^{p} + p r_{1} s_{1}, \dots)

성질

$S$ -비트 벡터 환 위의 표준적 환 준동형

W_{S} : {WittVector}_{S} (R) \to R^{S}

및 유일한 환 준동형

ι : ℤ \to R

을 생각하자.

만약 $ι (S) \subseteq R^{\times}$ 이라면 (즉, $S$ 의 모든 원소들이 $R$ 에서 가역원이라면), $W_{S}$ 는 전단사 함수이다.
만약 $ι (S) \subseteq R$ 가 모두 영인자가 아니라면, $W_{S}$ 는 단사 함수이다.

가환환 $R$ 위의 비트 벡터 $WittVector (R) = {WittVector}_{ℤ^{+}} (R)$ 는 표준적으로 람다 환의 구조를 갖는다.

예

만약 $S = {1}$ 일 경우, ${WittVector}_{{1}} (R) ≅ R$ 이다.

p진 정수

소수 $p$ 에 대하여, 유한체 $𝔽_{p}$ 위의 $p$ -비트 벡터 환은 $p$ 진 정수환 $ℤ_{p}$ 과 동형이다.

구체적으로, $p$ 진 정수환 $ℤ_{p}$ 의 타이히뮐러 대표원의 집합은 0 및 $ℤ_{p}$ 속의 1의 $p$ 제곱근 가운데 1이 아닌 것들로 구성된다.

{0} \cup {x \in ℤ_{p} : x^{p} = x \neq 1}

(이들은 헨젤 보조정리에 의하여 항상 존재한다.) 몫환 사영 사상

f : ℤ_{p} \to ℤ_{p} / (p) ≅ 𝔽_{p}

아래

f |_{{0} \cup {x \in ℤ_{p} : x^{p} = x \neq 1}} : {0} \cup {x \in ℤ_{p} : x^{p} = x \neq 1} \to 𝔽_{p}

는 전단사 함수를 이루며, 따라서 타이히뮐러 대표원들의 집합은 유한체 $𝔽_{p}$ 로 여길 수 있다. 타이히뮐러 대표원들을 사용하여, 모든 $p$ 진 정수는 다음과 같은 형식적 멱급수로 나타낼 수 있다.

a_{0} + a_{1} p + a_{2} p^{2} + \dots (a_{i} \in {0} \cup {x \in ℤ_{p} : x^{p} = x \neq 1} \forall i \in ℕ)

그렇다면, $p$ 진 정수의 합과 곱은 비트 벡터의 합과 곱으로 주어진다.

역사

에른스트 비트가 1936년에 아르틴-슈라이어-비트 이론(표수 $p > 0$ 의 체 위의 $p^{n}$ 차 순환 확대의 이론)을 전개하기 위하여 도입하였다.^[1]

각주

틀:각주

틀:서적 인용

외부 링크

틀:전거 통제

↑ 틀:저널 인용

[1] 틀:저널 인용

[1]

비트 벡터

목차

정의

p-비트 벡터

성질

예

p진 정수

역사

각주

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p-비트 벡터

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예

p진 정수

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