WKB 근사

틀:위키데이터 속성 추적 틀:접이식 사이드바 양자역학에서 WKB 근사(WKB近似, 틀:Llang)는 슈뢰딩거 방정식을 풀 때, 순수하게 양자역학적인 효과가 작아 파동 함수의 진폭 또는 위상이 거의 일정하다는 가정 아래 푸는 근사법이다.

1차원 퍼텐셜 속의 입자

1차원 공간에서 에너지 $E$를 가지고 퍼텐셜 $V(x)$에 영향을 받는 입자의 파동 함수 $\mathrm{\Psi }(x)$는 다음과 같은 시간 무관 슈뢰딩거 방정식을 따른다.

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\mathrm{\Psi }(x)+V(x)\mathrm{\Psi }(x)=E\mathrm{\Psi }(x)$.

이제 파동 함수 $\mathrm{\Psi }$를 다음과 같이 그 로그의 실수 및 허수 성분의 도함수로 나타내자.

$\mathrm{\Psi }(x)=\exp (\int (A(x)+iB(x))dx)$.

이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하여 정리하면 다음과 같은 두 방정식을 얻는다.

$A^{\prime }(x)+A(x{)}^2-B(x{)}^2=\frac{2m}{{\hslash }^2}(V(x)-E)$

$B^{\prime }(x)+2A(x)B(x)=0$.

이 연립 미분 방정식을 풀기 위해, 다음과 같은 반고전 근사법(틀:Lang)을 취한다. 우선, 파동 함수 성분$A$와 $B$를 디랙 상수 $\hslash$에 대한 테일러 급수로 전개한다. (위 식에 따라 $A,B=O(1/\hslash )$이므로 그 첫 항은 ${\hslash }^0$이 아니라 ${\hslash }^{-1}$이 된다.)

$A(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\hslash }^{n-1}{A}_n(x)$

$B(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\hslash }^{n-1}{B}_n(x)$.

디랙 상수는 아주 작으므로, 급수의 가장 낮은 차수의 항부터 먼저 보자.

$A_0(x{)}^2-B_0(x{)}^2=2m(V(x)-E)$

$A_0(x)B_0(x)=0$.

두 번째 방정식에 따라 $A_0=0$ 또는 $B_0=0$이다. 첫 번째 방정식에 따라 $V(x)<E$이면 $A_0=0$, $B_0\ne 0$으로, $V(x)>E$이면 $A_0\ne 0$, $B_0=0$으로 놓는다. 전자는 고전적인 경우, 후자는 터널링이 일어나는 경우를 나타낸다.

그 다음 차수의 항은 다음과 같다.

${A_0}^{\prime }(x)+2A_0(x)A_1(x)-2B_0(x)B_1(x)=0$

${B_0}^{\prime }(x)+2A_0(x)B_1(x)+2A_1(x)B_0(x)=0$.

첫 번째 식에 의해, $A_0=0$이면 $B_1=0$이다. 두 번째 식에 의해, $B_0=0$이어도 $B_1=0$이다.

고전적인 경우

이 경우는 총 에너지 $E$가 위치 에너지 $V(x)$보다 더 크므로, 입자가 고전적으로 존재할 수 있는 영역이다. 여기서는 $A_0=0$이고,

$B_0(x)=\pm \sqrt{2m(E-V(x))}$

이다. 이는 파동 함수의 진폭($A$)은 별로 변하지 않지만 그 위상($B$)이 많이 변하는 꼴이다.

다음 차수의 항 $A_1$을 구하면 다음과 같다.

$A_1=-{B_0}^{\prime }/2B_0=-\frac{1}{2}(\ln B_0{)}^{\prime }$.

따라서 파동 함수 $\mathrm{\Psi }(x)$는 대략

$\mathrm{\Psi }(x)\approx C{B}_0^{-1/2}\exp (i\int B_{0}dx)=\frac{C_{+}\exp (i\int \sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(E-V(x))}dx)+C_{-}\exp (-i\int \sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(E-V(x))}dx)}{\sqrt[4]{\frac{2m}{{\hslash }^2}(E-V(x))}}$

으로 근사할 수 있다. 여기서 $C_{+}$와 $C_{-}$는 임의의 적분 상수이다. 이에 따라, 고전적인 영역에서는 파동 함수는 대략 사인파의 모양이다.

터널 효과

이 경우는 위치 에너지 $V$가 총 에너지 $E$보다 더 크므로 입자가 고전적으로 존재할 수 없는 영역이다. 즉, 터널 효과에 해당한다. 여기에는 $B_0(x)=0$이고,

$A_0(x)=\pm \sqrt{2m(V(x)-E)}$

이다. 다음 차수의 항 $A_1$을 구하면 다음과 같다.

$A_1=-{A_0}^{\prime }/2A_0=-\frac{1}{2}(\ln A_0{)}^{\prime }$.

따라서 파동 함수 $\mathrm{\Psi }(x)$는 대략

$\mathrm{\Psi }(x)\approx D{A}_0^{-1/2}\exp (\int A_{0}dx)=\frac{D_{+}\exp (\int \sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(V(x)-E)}dx)+D_{-}\exp (-\int \sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(V(x)-E)}dx)}{\sqrt[4]{\frac{2m}{{\hslash }^2}(V(x)-E)}}$

으로 근사할 수 있다. 여기서 $D_{+}$와 $D_{-}$는 임의의 적분 상수이다. 이에 따라, 터널링 영역에서는 파동 함수는 지수 함수의 모양을 따른다.

연결 공식

고전적인 경우와 터널 효과인 경우의 해는 $V\approx E$가 되는 점 근처에서 발산한다. 따라서 이런 점 근처에는 연결 공식(틀:Lang)를 사용하여 두 해의 계수 $C_{\pm }$, $D_{\pm }$를 (전체 파동 함수가 연속 미분 가능하게끔) 서로 맞추어야 한다.

고전적인 영역과 터널링 영역이 $x_0$에서 만난다고 하자. 즉,

$V(x_0)=E$

이라고 하자. 그렇다면 $x_0$ 근처에서 퍼텐셜 $V(x)$를

$V(x)\approx V^{\prime }(x_0)(x-x_0)+E$

와 같이 근사할 수 있다. 그렇다면 풀어야 할 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\Psi }}^{″}=V^{\prime }(x_0)\mathrm{\Psi }(x)(x-x_0)$.

이는 에어리 함수를 사용하여 풀 수 있다. 그 일반적인 해는 다음과 같다.

$\mathrm{\Psi }(x)=aAi(\sqrt[3]{2m{V}^{\prime }(x_0)/{\hslash }^2}x)+bBi(\sqrt[3]{2m{V}^{\prime }(x_0)/{\hslash }^2}x)$.

여기서 $a$와 $b$는 임의의 상수이다.

$x\gg 1$일 때, 에어리 함수는 다음을 만족한다.

$Ai(x)\approx \frac{\exp (-\frac{2}{3}{x}^{3/2})}{2\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}$ (분모에 2가 있는 것에 주의!)

$Bi(x)\approx \frac{\exp (\frac{2}{3}{x}^{3/2})}{\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}$

$Ai(-x)\approx \frac{\sin (\frac{2}{3}{x}^{3/2}+\pi /4)}{\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}$

$Bi(-x)\approx \frac{\cos (\frac{2}{3}{x}^{3/2}+\pi /4)}{\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}$.

이를 고전적 영역의 해와 터널링 영역의 해와 비교하면 계수 사이의 관계를 얻을 수 있다. 이를 연결 공식이라고 한다. 예를 들어, $x<x_0$은 고전적인 영역이고, $x>x_0$은 터널링 영역이라고 하자. 그렇다면

$D_{+}-2i{D}_{-}=2C_{+}\exp (-i\pi /4)$

$D_{+}+2i{D}_{-}=2C_{-}\exp (i\pi /4)$

이다. 그 반대로, $x>x_0$이 고전적이고 $x<x_0$이 터널링인 경우에도 유사한 공식을 유도할 수 있다.

일반적 경우

$n$차원 리만 다양체 $M$ 위의 입자가 퍼텐셜 $V:M\to ℝ$ 속에서 움직인다고 하자. 이 경우, 파동 함수에 대하여 다음과 같은 가설 풀이를 고르자.

$\psi (x)=\exp (iS(x)/\hslash )\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(x){\hslash }^k$

여기서, 각 항의 단위는 다음과 같다.

• $S(x)$는 작용의 단위를 갖는다.
• $a_k(x)$는 [길이]^−n/2[작용]^−k의 단위를 갖는다.

이를 슈뢰딩거 방정식

$0=(-{\hslash }^2{\mathrm{\nabla }}^2+2m(V(x)-E))\psi$

에 대입하여 $\hslash$의 각 계수별로 비교하면, 다음과 같은 일련의 편미분 방정식을 얻는다.틀:Rp

${\mathrm{\nabla }}^{\mu }S(x){\mathrm{\nabla }}_{\mu }S(x)=2m(E-V(x))$

$(({\mathrm{\nabla }}^{2}S(x))+2({\partial }^{\mu }S){\partial }_{\mu })a_0(x)=0$

$(({\mathrm{\nabla }}^{2}S(x))+2({\partial }^{\mu }S){\partial }_{\mu })a_k(x)=i{\mathrm{\nabla }}^2{a}_{k-1}(x)$

고전적 영역에서는 $S$는 실수이며, 터널 영역에서는 $S$는 허수가 된다.

처음 두 개의 편미분 방정식은 다음과 같이 기하학적으로 해석할 수 있다. 우선, 심플렉틱 다양체 $T^{*}M$의 다음과 같은 라그랑주 부분 다양체를 정의하자.

$L=\{(x,p):x\in M,p={\partial }_{\mu }S(x)\in T_x^{*}M\}\subset T^{*}M$

이 경우, 다음과 같은 자연스러운 사영 사상이 존재하며, 이는 미분 동형을 이룬다.

$\pi :L\to M$

$\pi :(x,p)\mapsto x$

그렇다면, 처음 두 개의 WKB 방정식은 다음과 같이 해석할 수 있다.틀:Rp

• $S$에 대한 방정식은 해밀턴-야코비 방정식이며, 이는 해밀토니언을 $L$에 국한하였을 경우 상수 함수임을 뜻한다.

  $H{|}_L=E$

• $a_0$에 대한 방정식 ${\mathrm{\nabla }}^{\mu }(a^2{\partial }_{\mu }S)=0$은 수송 방정식(틀:Llang)이며, 이는 $L$ 위에 정의된 밀도 ${\pi }^{*}(a_0^2(x)\sqrt{\det g(x)}d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n)$가 해밀토니언 벡터장 $(X_H{)}^I=({\omega }^{-1}{)}^{IJ}{\partial }_{J}H$에 대하여 불변인 것을 뜻한다. (해밀턴-야코비 방정식에 의하여, 해밀토니언 벡터장은 항상 $L$의 접벡터이다.) 여기서 $ℒ$은 밀도의 리 미분이며, ${\pi }^{*}$는 $\pi$에 대한 당김이다.

  ${ℒ}_{X_H}{\pi }^{*}(a_0^2(x)\sqrt{\det g(x)}d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n)=0$

따라서, 처음 두 WKB 방정식은 기하학적 양자화에서, 라그랑주 부분 다양체 및 그 위에 주어진 ½-밀도로서 주어진 고전적 상태가 만족시켜야 하는 조건을 나타낸다. 그러나 나머지 WKB 방정식들은 이와 같이 간단한 기하학적 해석을 부여하기 힘들다.

역사

1923년에 영국의 수학자 해럴드 제프리스(틀:Llang)가 이 근사법을 이차 미분 방정식에 대한 일반적인 근사법으로 도입하였다. 1925년 슈뢰딩거 방정식이 발표되자, 그 이듬해인 1926년에 독일의 그레고어 벤첼(틀:Llang), 네덜란드의 헨드릭 안토니 크라머르스, 프랑스의 레옹 브릴루앵 이 독자적으로 이에 대한 근사법을 발표하였다. 넷 다 사실상 같은 방법이었으나 이들은 서로의 업적을 처음에 알지 못했다. 이에 따라 보통 WKB 또는 JWKB 근사법으로 불린다.

각주

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab

같이 보기

• 투과계수
• 기하학적 양자화