에어리 함수

에어리 함수의 그래프

수학에서 에어리 함수(틀:Lang)는 특수 함수의 한 종류다. 두 개가 있으며, 기호는 Ai와 Bi다. 조지 비델 에어리가 광학을 연구하기 위해 1838년에 도입하였다.

정의

다음과 같은 $f(x)$에 대한 이차 선형 상미분 방정식을 에어리 미분 방정식(틀:Lang)이라고 한다.

$f^{″}(x)=xf(x)$.

에어리 함수는 에어리 미분 방정식의 두 개의 독립적인 해로, 에어리 미분 방정식의 일반적인 해는 두 에어리 함수의 선형결합이다. 에어리 함수는 다음과 같이 적분으로 표현할 수 있다.

$\mathrm{Ai}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (t^3/3+xt)dt$

$\mathrm{Bi}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\exp (-\frac{1}{3}{t}^3+xt)+\sin (\frac{1}{3}{t}^3+xt)]dt$.

성질

$x\gg 1$일 때, 에어리 함수는 다음을 만족한다.

$Ai(x)\approx \frac{\exp (-\frac{2}{3}{x}^{3/2})}{2\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}$ (분모에 2가 있는 것에 주의!)

$Bi(x)\approx \frac{\exp (\frac{2}{3}{x}^{3/2})}{\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}$

$Ai(-x)\approx \frac{\sin (\frac{2}{3}{x}^{3/2}+\pi /4)}{\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}$

$Bi(-x)\approx \frac{\cos (\frac{2}{3}{x}^{3/2}+\pi /4)}{\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}$.

그래프

$\mathrm{\Re }[\mathrm{A}\mathrm{i}(x+iy)]$	$\mathrm{\Im }[\mathrm{A}\mathrm{i}(x+iy)]$	$|\mathrm{A}\mathrm{i}(x+iy)|$	$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\mathrm{A}\mathrm{i}(x+iy)]$

$\mathrm{\Re }[\mathrm{B}\mathrm{i}(x+iy)]$	$\mathrm{\Im }[\mathrm{B}\mathrm{i}(x+iy)]$	$|\mathrm{B}\mathrm{i}(x+iy)|$	$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\mathrm{B}\mathrm{i}(x+iy)]$

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:인용
• 틀:인용
• 틀:매스월드
• Wolfram Functions Site: Ai, Bi.

같이 보기

• 베셀 함수
• 에어리 제타 함수
• 슈뢰딩거 방정식
• WKB 근사