F이론

틀:위키데이터 속성 추적 틀:끈 이론 끈 이론에서 F이론(F理論, 틀:Llang)은 ⅡB종 초끈 이론의 축소화를 나타내는 이론이다. 이란인 이론 물리학자 캄란 바파가 1996년에 발표하였다. 형식적으로는 12차원 이론이나, 이는 축소화를 하지 않고는 일관적이지 않다. F이론을 사용하여 ⅡB종 초끈 이론의 수많은 축소화를 계산할 수 있고, 이들 가운데 상당수는 현상론적으로 중요하다.

정의

10차원에 존재하는 ⅡB종 끈 이론은 SL(2;ℤ) S-이중성을 가진다. 이 이중성은 12차원의 F이론을 원환면 ${𝕋}^2$에 축소화하여 생긴 것으로 해석할 수 있다. 이렇게 해석하면, 원환면의 모양을 나타내는 복소구조 모듈라이 $\tau$를 라몽-라몽 장 (액시온) $C_0$와 딜라톤 $\mathrm{\Phi }$의 합

$\tau =C_0+\mathrm{i}\exp (-\mathrm{\Phi })$

로 해석할 수 있다. 이 복소수 값 스칼라장을 액시오딜라톤(틀:Llang)이라고 한다. 그러나 원환면의 크기를 나타내는 켈러 모듈라이에 해당하는 장은 존재하지 않는다. 즉, ⅡB종 끈 이론은 F이론을 “크기가 0인 원환면”에 축소화한 것으로 해석할 수 있다.

보다 일반적으로, F이론은 원환면의 복소구조 모듈라이 공간($ℂ/SL(2,\mathbb{Z})$)의 다발 구조를 갖춘 칼라비-야우 다양체에 축소화할 수 있다. 다발의 특이올(틀:Lang)은 D7-막의 존재를 나타낸다. 따라서 F이론은 ⅡB종 끈 이론의 액시온과 딜라톤, D7-막의 배열을 기하학적인 데이터로 나타낸 이론이다.

F이론	ⅡB 초끈 이론
타원 곡선 올의 올뭉치 $\mathrm{\Sigma }\hookrightarrow E\twoheadrightarrow M$ 위의 축소화	다양한 액시온·딜라톤·D7-막이 존재하는 $M$ 위의 비섭동적 축소화
타원 곡선의 복소수 모듈라이 $\tau \in ℂ,\mathrm{Im}\tau >0$	액시오딜라톤 $C_0+\mathrm{i}\exp (-\mathrm{\Phi })$
타원 곡선 올의 SL(2;ℤ) 모듈러 변환	SL(2;ℤ) S-이중성
타원 곡선 올이 퇴화하는 복소수 3차원 부분 다양체	D7-막 및 일반적 $(p,q)$ 7-막

성질

ⅡA 초끈 이론은 M이론을 원 위에 콤팩트화하여 얻을 수 있지만, ⅡB 초끈 이론은 (추가로 콤팩트화한 뒤 T-이중성을 사용하지 않고는) M이론에서 직접적으로 콤팩트화하여 얻을 수 없다. 그러나 F이론을 원환면 위에 축소화하면 ⅡB 초끈 이론을 얻으며, ⅡB 초끈 이론의 SL(2;ℤ) S-이중성은 원환면의 사상류군에 대응한다.

4차원 $𝒩=1$ 초대칭 이론을 얻기 위해서는 ⅡB 초끈 이론을 복소수 3차원 칼라비-야우 다양체에 축소화하거나, 보다 일반적으로 F이론을 복소수 4차원 칼라비-야우 다양체 위에 축소화하면 된다. 후자는 ⅡB 초끈 이론을 3차원 칼라비-야우 다양체보다 더 일반적인 공간에 축소화하는 것으로 해석할 수 있다. 이렇게 하면, 4차원에서 E₈ 등의 게이지 군을 만들 수 있다.

М이론과의 관계

ⅡB 초끈 이론은 M이론으로부터 다음과 같이 얻어진다.

1. M이론을 원환면 ${𝕊}_{\text{M}}^1\times {𝕊}_{\text{T}}^1$ 위에 축소화한다.
2. 원 ${𝕊}_{\text{T}}^1$에 T-이중성을 가하여 새 원 ${𝕊}_{\text{T}}^1\text{'}$을 얻는다.
3. 이제, 원환면 ${𝕊}_{\text{M}}^1\times {𝕊}_{\text{T}}^1$에서, 모양(복소구조)은 보존하지만 그 넓이를 0으로 보내는 극한을 취한다. 이 경우 원환면의 복소구조 모듈라이 $\tau$는 ⅡB 닫힌 끈 결합 상수와 같음을 알 수 있다.

이제, 이 과정을 일반화하여, M이론을 복소수 $n$차원의 칼라비-야우 다양체 ${ℝ}^{11-2n}\times X_n$에 축소화하고, 이 칼라비-야우 다양체가 타원 곡선 올뭉치(예를 들어, 타원 곡면) $X_n\twoheadrightarrow Y_{n-1}$을 이룬다고 하자. 그렇다면, 타원 곡선 올뭉치의 타원 곡선 올들의 복소수 모듈라이를 고정시킨 체 그 넓이를 0으로 보내는 극한을 취하자. 그렇다면, T-이중성에 따라서 새 차원이 생겨, ${ℝ}^{11-2n}\times ℝ\times Y$ 위의 이론을 얻는다. 이는 “12차원”의 F이론으로 여길 수 있다.

ⅡA 초끈 이론의 D6-막은 M이론의 KK 들뜬 상태이므로, 기하학적 데이터로 주어진다. 이는 T-이중성 아래 ⅡB 초끈 이론의 D7-막이 된다. 즉, 이는 F이론에서 타원 곡선 올이 퇴화하는 기하학적 데이터로 주어짐을 알 수 있다.

ⅡB 초끈 이론과의 관계

ⅡB 초끈 이론의 섭동 이론이 유효하려면, 끈 결합 상수가 거의 어디서나 매우 작아야 한다. 이 경우, 결합 상수가 작지 않은, 복소수 여차원 1(실수 여차원 2)의 자취(틀:Llang)는 ⅡB 초끈 이론의 D7-막에 해당한다. 이러한 극한을 센 극한(সেন極限, 틀:Llang)이라고 한다.

구체적으로, 가장 간단한 축소화인 복소수 사영 직선 (리만 구)

${\mathbb{P}}_{ℂ}^1=\mathrm{Proj}ℂ[u,v]$

위의 축소화를 생각하자. 그렇다면, 그 위의 타원 곡선 올뭉치인 타원 곡면은 복소수 가중 사영 공간

${\mathbb{P}}_{ℂ}^{1,2,3}=\mathrm{Proj}ℂ[z,x,y]\cong {\mathbb{P}}^2/\mathrm{Sym}(3)$

$\mathrm{deg}u=\mathrm{deg}v=\mathrm{deg}z=1$

$\mathrm{deg}x=2$

$\mathrm{deg}y=3$

을 정의하면,

${\mathbb{P}}_{ℂ}^1\times {\mathbb{P}}_{ℂ}^{1,2,3}$

속의 대수 곡면으로, $[u:v]$에서 그 올은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.틀:Rp

${\mathrm{\Sigma }}_{[u:v]}=\mathrm{Proj}\frac{ℂ[x,y,z]}{y^2+a_1(u,v)xyz+a_3(u,v)y{z}^3-x^3-a_2(u,v)x^2{z}^2-a_4(u,v)x{z}^4-a_6(u,v)z^6}$

여기서 $a_i(u,v)$는 $2i$차 동차 다항식이며, 따라서 ${\mathbb{P}}_{ℂ}^1$의 표준 가역층 $𝒦$의 거듭제곱 ${𝒦}^{-n}$의 단면을 정의한다.

이 경우, 타원 곡선의 모듈라이 $\tau$는 다음과 같이 j-불변량으로 주어진다.

$b_2=a_1^2+4a_{-}2$

$b_4=a_1{a}_3+2a_4$

$b_6=a_3^2+4a_6$

$f_4=\frac{24b_4-b_2^2}{48}$

$g_6=\frac{216b_6-36b_4{b}_2+b_2^3}{864}$

$j(\tau )=\frac{4(24f_4{)}^3}{4f_4^3+27g_6^2}$

D7-막은 $j(\tau )=\mathrm{\infty }$인 곳, 즉 모듈러 판별식이 0인 곳

$0=\mathrm{\Delta }(\tau )=4f_4^3+27g_6^2$

이다. 이는 $[u:v]$에 대한 24차 다항식이다 (즉, 가역층 ${𝒦}_{{\mathbb{P}}_{ℂ}^1}^{-24}$의 단면이다). 따라서 리만 구 위에 24개의 D7-막이 존재함을 알 수 있다.

이 수는 ⅡB 초끈 이론에서 다음과 같이 계산할 수 있다. D7-막은 10차원 초중력의 해로서 여차원 평면에 $2\pi /12$ 라디안의 부족각(不足角, 틀:Llang)을 갖는다. 따라서, 리만 구를 이루기 위한 부족각 $4\pi$ 라디안을 채우려면 24개의 D7-막이 필요하다.

일반적으로, ${\mathbb{P}}^1$ 위의 타원 곡면의 특이올은 고다이라 구니히코가 발견한 ADE 분류를 가지며, 이 경우 특이점 근처에서 모듈라이 $\tau$의 SL(2;ℤ) 모노드로미를 계산할 수 있다. 이 특이점들은 ⅡB 초끈 이론의 7-막에 해당한다. 이러한 7-막들은 액시오딜라톤의 SL(2;ℤ) 모노드로미에 의하여 분류되며, D7-막에 S-이중성을 가하여 얻는다. 이 경우, 모노드로미에 의한 7-막의 분류는 특이올의 고다이라 분류와 일치한다. 이 경우, 7-막 사이를 잇는 $(p,q)$-끈(기본 끈과 D1-막이 겹친 상태)들의 무질량 진동 모드는 ADE 분류에 대응되는 딘킨 도표의 단순 리 군의 딸림표현을 이루며, 따라서, 이러한 축소화의 저(低)에너지 양자장론은 이러한 게이지 군의 양-밀스 이론을 포함하게 된다.

ⅡB 초끈 이론 섭동 이론이 유효하려면, 끈 결합 상수가 거의 어디서나 매우 작아야 한다. 이는 $\tau$가 i∞인 것, 즉 j-불변량이 ∞가 되는 것이다. 이를 위하여, 센 극한은

$a_3\mapsto ϵa_3$

$a_4\mapsto ϵa_4$

$a_6\mapsto ϵa_6$

으로 치환했을 때 $ϵ\to 0$ 극한으로 정의된다. 그렇다면, 모듈러 판별식과 j-불변량은

$\mathrm{\Delta }(\tau )=-\frac{1}{4}{ϵ}^2{b}_2(b_2{b}_6-b_4^2)+𝒪({ϵ}^3)$

$j(\tau )={ϵ}^{-2}\frac{b_2^4}{b_2{b}_6-b_4^2}+𝒪({ϵ}^{-1})$

이다. 이 경우,

• $b_2=0$인 곳은 ⅡB 초끈 이론에서 O7-평면에 해당한다.
• $b_2{b}_6-b_4^2=0$인 곳은 ⅡB 초끈 이론에서 D7-막에 해당한다.

역사

1996년에 캄란 바파가 발표하였다. 이름에서 ‘F’는 ‘근본적’(틀:Lang), ‘아버지’(틀:Lang) 등으로 해석될 수 있으며, 먼저 발표된 M이론과 유사하게 명명한 것이다.

같이 보기

• 딜라톤
• 액시온
• M이론

외부 링크

• 틀:Nlab