4항 보조정리

틀:위키데이터 속성 추적 호몰로지 대수학에서 4항 보조정리(四項補助定理, 틀:Llang)는 두 완전열 사이의 사상 가운데 일부가 전사 사상 또는 단사 사상이라면 가운데의 사상 역시 전사 사상 또는 단사 사상이라는 보조정리이다.

정의

아벨 범주 속에서 다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.

\begin{matrix} \to & \to & \to \\ a ↓ & b ↓ & c ↓ & d ↓ \\ \to & \to & \to \end{matrix}

이 가환 그림에서, 다음이 성립한다고 하자.

4항 보조정리에 따르면, 다음이 성립한다.^[1]틀:Rp

이 두 명제는 서로 쌍대이다. 즉, 둘째는 첫째를 반대 범주에서 적용한 것에 불과하다.

이는 다음과 같이 도롱뇽 정리를 써 간단히 증명된다.

증명:

우선, 핵과 여핵을 추가하여, 다음과 같은 이중 사슬 복합체를 생각하자.

\begin{matrix} 0 & 0 \\ ↓ & ↓ \\ \ker b & \to & \ker c & \to & 0 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ A & \to & B & \to & C & \to & D \\ ↓ & ↓ & ↓ & ↓ \\ A^{'} & \to & B^{'} & \to & C^{'} & \to & D^{'} \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 0 & \to & coker b & \to & coker c \\ ↓ & ↓ \\ 0 & 0 \end{matrix}

이제, “ $b$ 단사 ⇒ $c$ 단사”를 증명하려면, $_{=} (\ker c) ≅ 0$ 임을 보이면 족하다.

이는 다음과 같은 교외 사상 및 교내 사상으로 구성된 동형 사상으로 주어진다.

\begin{matrix} 0 & 0 \\ ∙ & ∙ = \to ◻ & 0 \\ ↙ \\ ∙ & ∙_{◻} & ↗ & ^{◻} ∙ & ∙ \\ ↙ \\ ∙_{◻} & ↗ & ^{◻} ∙ & ∙ & ∙ \\ ↙ \\ ^{◻} 0 & ∙ & ∙ \\ 0 & 0 \end{matrix}

4항 보조정리를 양쪽에 적용하여, 다음과 같은 5항 보조정리(五項補助定理, 틀:Llang)를 적을 수 있다. 아벨 범주 속에서 다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.

\begin{matrix} \to & \to & \to & \to \\ a ↓ & b ↓ & c ↓ & d ↓ & e ↓ \\ \to & \to & \to & \to \end{matrix}

이 가환 그림에서 다음이 성립한다고 하자.

5항 보조정리에 따르면, $c$ 역시 동형 사상이다. 이는 4항 보조정리를 왼쪽 열을 제거한 부분 도형과 오른쪽 열을 제거한 부분 도형에 각각 적용한 것에 불과하다.

5항 보조정리의 특수한 경우로, 다음과 같은 가환 그림을 생각하자.

\begin{matrix} 0 \to & \to & \to & \to 0 \\ b ↓ & c ↓ & d ↓ \\ 0 \to & \to & \to & \to 0 \end{matrix}

짧은 5항 보조정리(-五項補助定理, 틀:Llang)에 따르면, 만약 각 행이 짧은 완전열이며 $b$ , $d$ 가 동형 사상이라면 $c$ 역시 동형 사상이다. 짧은 5항 보조정리는 또한 (아벨 범주가 아닌) 군의 범주에서도 성립한다.

4·5항 보조정리는 보조정리에 등장하는 가환 그림이 각각 4×2 또는 5×2개의 대상을 포함하기 때문에 이렇게 명명되었다.

데이비드 앨빈 북스바움은 1955년 논문^[2]에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 5항 보조정리는 보조정리 5.9로 등장한다.