히친 계

틀:위키데이터 속성 추적 수학과 물리학에서 히친 계(틀:Lang)는 양-밀스 이론의 순간자를 수학화한 적분가능계이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 리만 곡면 $M$
• 콤팩트 리 군 $G$
• $M$ 위의 $G$-정칙 벡터 다발 ($G$-주다발의 연관 벡터 다발) $E\twoheadrightarrow M$
• $E$의 벡터 다발 접속 ${\mathrm{\nabla }}_A$. 그 곡률을 $F=\mathrm{d}A+A\wedge A$라고 하자.
• $M$ 위의 (1,0)차 복소수 미분 형식 $\mathrm{\Phi }\in {\mathrm{\Omega }}^{1,0}(M)\otimes 𝔩𝔦𝔢(G)$. 이를 힉스 장이라고 한다.

그렇다면 히친 방정식(틀:Llang)은 다음과 같다.

$F_A+[\mathrm{\Phi }\wedge \mathrm{\Phi }]=0$

$d_A\mathrm{\Phi }=0$.

여기서 $d_A=d+A\wedge$는 공변 미분이고, $*$는 호지 쌍대이다.

여기서, $F+\mathrm{\Phi }+{\mathrm{\Phi }}^{*}$는 $G^{ℂ}$-주다발의 주접속으로 해석할 수 있다. 이렇게 생각하면, 히친 방정식은 $G^{ℂ}$-주다발 주접속이 평탄 주접속임을 나타낸다.

히친 방정식을 만족시키는 데이터 $(A,\mathrm{\Phi })$를 히친 쌍(틀:Llang)이라고 한다. 히친 쌍의 공간은 안정 $G$-벡터 다발들의 모듈라이 공간 $𝒩(\mathrm{\Sigma },G)$의 공변접다발 ${\mathrm{T}}^{*}𝒩(\mathrm{\Sigma },G)$과 표준적으로 동형이며, 따라서 심플렉틱 다양체를 이룬다.

이제, $G$의 임의의 $k$차 불변 다항식 $p:𝔤\to ℝ$을 생각하자. 그렇다면,

$p(\mathrm{\Phi })\in {\mathrm{H}}^0(K^k)$

를 취할 수 있다. 여기서 $K$는 $M$의 (1,0)차 복소수 미분 형식의 복소수 선다발(즉, 표준 선다발)이다. 따라서, 복소수 벡터 공간

$\underset{k\in \mathbb{N}}{⨁}{\mathrm{H}}^0(K^k)$

의 임의의 기저를 취하면, ${\mathrm{T}}^{*}𝒩(\mathrm{\Sigma },G)$ 위의 일련의 함수들을 정의할 수 있다. 이러한 함수의 수는 $𝒩(\mathrm{\Sigma },G)$의 차원과 같으며, 이들은 또한 푸아송 괄호 아래 서로 가환한다. 따라서, 이를 해밀토니언들로 삼았을 때, 이는 적분가능계를 이룬다. 이 적분가능계를 히친 계라고 한다.

역사

나이절 히친이 1987년 도입하였다.

같이 보기

• 양-밀스 방정식

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:SpringerEOM