아이디얼 층

틀:위키데이터 속성 추적 층 이론에서, 아이디얼 층(ideal層, 틀:Llang)은 어떤 가환환층의 각 단면환에 아이디얼을 대응시키는 가군층이다. 스킴의 준연접 아이디얼 층은 닫힌 부분 스킴과 대응한다.

정의

환 달린 공간 $(X,{𝒪}_X)$의 아이디얼 층 $ℐ$는 다음 조건을 만족시키는, ${𝒪}_X$의 아벨 군층으로서의 부분층이다.

• 임의의 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, $\mathrm{\Gamma }(U;{𝒪}_X)\cdot \mathrm{\Gamma }(U;ℐ)\subseteq \mathrm{\Gamma }(U;ℐ)$

성질

스킴 사이의 닫힌 몰입 $f:Y\to X$에 대하여, 그 핵 $\ker f$는 ${𝒪}_X$의 준연접 아이디얼 층을 이룬다.틀:Rp 또한, 만약 $X$가 뇌터 스킴이라면 이는 연접 아이디얼 층을 이룬다.

스킴 $X$에 대하여, 다음 두 집합 사이에 표준적인 일대일 대응이 존재한다.틀:Rp

• $X$의 닫힌 부분 스킴들의 집합
• $X$의 준연접 아이디얼 층의 집합

구체적으로, 닫힌 부분 스킴 $f:Y\to X$에 대응하는 아이디얼 층은 $\ker f^{\mathrm{\#}}$이다. 반대로, 준연접 아이디얼 층 $ℐ$에 대응하는 닫힌 부분 스킴은 ${𝒪}_X/ℐ$의 지지집합

$\mathrm{supp}{𝒪}_X/ℐ=\{x\in X:({𝒪}_X/ℐ{)}_x\ne 0\}$

이다. 즉, 줄기가 0인 점들의 부분 집합이다. 그렇다면 $(\mathrm{supp}{𝒪}_X/ℐ,{𝒪}_X/ℐ)$는 $X$의 닫힌 부분 스킴을 이룬다.

예

스킴 $(X,{𝒪}_X)$에서, 어떤 아핀 열린 덮개에서 구조층의 영근기로 구성된 아이디얼 층 $𝒥$를 생각할 수 있다. 이는 항상 준연접층이며, 이에 대응하는 닫힌 부분 스킴은 $X_{\mathrm{red}}$이다. 이는 항상 축소 스킴이며, $X$와 위상 공간으로서 동형이지만, 그 층 구조는 다를 수 있다.

외부 링크

• 틀:Nlab
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