프로이덴탈 현수 정리

틀:위키데이터 속성 추적 수학, 특히 호모토피 이론에서 프로이덴탈 현수 정리(-懸垂定理, 틀:Llang)는 위상 공간의 현수의 호모토피 군에 대한 정리이다.

정리

고리 공간의 성질에 따라 ${\pi }_k(\mathrm{\Omega }(\mathrm{\Sigma }X))\cong {\pi }_{k+1}(\mathrm{\Sigma }X)$이므로 위 정리는 사상 ${\pi }_k(X)\to {\pi }_{k+1}(\mathrm{\Sigma }X)$에 대한 것이라고도 할 수 있다.

응용

구의 호모토피 군

초구 $S^n$은 $(n-1)$-연결 공간이고 $\mathrm{\Sigma }{S}^n\cong S^{n+1}$이므로, 프로이덴탈 현수 정리를 적용하면 $n>k+1$일 경우 ${\pi }_{n+k}(S^n)\cong {\pi }_{n+k+1}(S^{n+1})$이라는 것을 알 수 있다. 이 때의 군 ${\pi }_{n+k}(S^n)$를 ‘초구 스펙트럼의 안정 호모토피 군’이라 부르고 ${\pi }_k^S$로 표기한다.

역사

1938년 한스 프로이덴탈이 발표하였다. 이 정리는 위상 공간에 연산을 거듭하면 호모토피 군이 어느 시점 이후로 안정화할 수도 있다는 것을 보였고 안정 호모토피 이론을 발전시키게 되었다.