부분파 방법

틀:위키데이터 속성 추적 틀:접이식 사이드바 물리학에서 부분파 방법(部分波方法, 틀:Lang)은 산란 문제를 구면 조화 함수에 대한 성분인 부분파(部分波, 틀:Lang)로 분해하여 푸는 방법이다.

전개

파수 $k=\sqrt{2mE}/\hslash$를 가지고 $z$방향으로 움직이는 입사 평면파 파동 함수 $⟨𝐫|\varphi ⟩=\exp (\mathrm{i}kz)$가 원점 근처에 국한된 구면 대칭 퍼텐셜 $V(r)$에 의하여 $|\psi ⟩$으로 산란된다고 하자.

$(H_0+V)|\psi ⟩=E|\psi ⟩$.

퍼텐셜은 원점 근처에 국한되어 있으므로, 원점에서 멀리 떨어진 곳에서는 파동 함수는 진공 슈뢰딩거 방정식

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi (r,\theta ,\varphi )=0$

을 따른다. 구면좌표계에서 진공 슈뢰딩거 방정식의 일반적인 해는 다음과 같은 구면 베셀 함수 $j_l(x)$, $y_l(x)$와 구면 조화 함수 $Y_l^m(\theta ,\varphi )$의 곱들의 선형결합이다.

$\psi (r,\theta ,\varphi )=\sum _{l,m}{B}_l^m{j}_l(kr)Y_l^m(\theta ,\varphi )+C_l^{m}k{i}^{l+1}(j_l(kr)+i{y}_l(kr))Y_l^m(\theta ,\varphi )$.

여기서 $B_l^m$과 $C_l^m$은 미지의 계수이다.

레일리 공식(틀:Lang)에 따라

$\varphi (r,\theta ,\varphi )=\exp (ikr\cos \theta )=\sum _{l,m}{i}^l\sqrt{4\pi (2l+1)}{j}_l(kr)Y_l^0(\theta ,\varphi )$

이고,

$k{i}^{l+1}(j_l(kr)+i{y}_l(kr))\approx \exp (ikr)/r$ ($kr\gg 1$)

은 산란된 구면파를 나타내므로, 평면파의 산란을 나타내기 위해서는 다음과 같은 경계 조건을 부여하여야 한다.

$B_l^m=\sqrt{4\pi (2l+1)}{\delta }_{m0}$.

따라서

$\psi (r,\theta ,\varphi )=\sum _{l,m}\sqrt{4\pi (2l+1)}{\delta }_{m0}{j}_l(kr)Y_l^0(\theta ,\varphi )+C_l^{m}k{i}^{l+1}(j_l(kr)+i{y}_l(kr))Y_l^m(\theta ,\varphi )$

이다. 여기서 각각의 $C_l^m{i}^{l+1}(j_l(kr)+i{y}_l(kr))Y_l^m(\theta ,\varphi )$ 성분을 부분파라고 하고, $C_l^m$을 부분파 산란 진폭이라고 한다.

부분파 방법은 퍼텐셜 근처에서의 슈뢰딩거 방정식을 위와 같은 가설 풀이를 대입하여 푸는 것이다. 이렇게 하여 부분파 산란 진폭 $C_l^m$을 구하면 그 총 산란 진폭 $f(\theta ,\varphi )$는

$f(\theta ,\varphi )=\sum _{l,m}{C}_l^m{Y}_l^m(\theta ,\varphi )$

와 같이 주어진다. 이로부터 총 산란 단면적 $\sigma$와 미분 단면적 $d\sigma /d\mathrm{\Omega }$를 다음과 같이 구할 수 있다.

$\sigma =\oint |f{|}^{2}d\mathrm{\Omega }=\sum _{l,m}|C_l^m{|}^2$

$\frac{d\sigma (\theta ,\varphi )}{d\mathrm{\Omega }}=\sum _{l^{\prime },m^{\prime }}\sum _{l,m}{C}_l^m{Y}_l^m(\theta ,\varphi )(C_{l^{\prime }}^{m^{\prime }}{Y}_{l^{\prime }}^{m^{\prime }}(\theta ,\varphi ){)}^{*}$.

낮은 에너지에서의 근사

퍼텐셜의 "크기"가 대략 $a$라고 하자. 즉, $V(r)$가 대략 다음과 같은 꼴이다.

$V(r)\approx \{\begin{array}{cc}0& r>a\\ \mathrm{\infty }& r<a.\end{array}$

이런 경우에는 $\psi (r=a,\theta ,\varphi )\approx 0$이므로, 다음과 같은 경계 조건을 부여한다.

$0\approx \sum _{l,m}\sqrt{4\pi (2l+1)}{\delta }_{m0}{j}_l(ka)Y_l^0(\theta ,\varphi )+C_l^{m}k{i}^{l+1}(j_l(ka)+i{y}_l(ka))Y_l^m(\theta ,\varphi )$.

이에 따라

$C_l^m\approx -\frac{\sqrt{4\pi (2l+1)}{\delta }_{m0}{j}_l(ka)}{k{i}^{l+1}(j_l(ka)+i{y}_l(ka))}$

이다.

이제, 입사 파동 함수의 에너지 $E={\hslash }^2{k}^2/2m$가 퍼텐셜의 크기에 비하여 아주 작다고 하자. 즉,

$ka\ll 1$

$E\ll \frac{{\hslash }^2}{2m{a}^2}$

라고 하자. 그렇다면

$j_l(x)\propto x^l$ ($x\ll 1$)

$y_l(x)\propto x^{-l-1}$ ($x\ll 1$)

이므로,

$C_l^m\propto a(ka{)}^{2l}$

이다. 따라서 $ka\ll 1$이므로 $l=0$인 항이 다른 항보다 매우 크다. 즉, 매우 작은 에너지에서는 $l,m=0$인 부분파만 고려하면 된다.

위상 변화

위에서 정의한 부분파 진폭 $C_m^l$은 일반적으로 다음과 같은 꼴을 가진다.

$C_m^l=\sqrt{4\pi }\exp (i{\delta }_m^l)\sin {\delta }_m^l$.

여기서 ${\delta }_m^l$을 $(l,m)$ 부분파의 위상 변화(틀:Lang)라고 한다.

같이 보기

• 베셀 함수
• 헬름홀츠 방정식
• 운죌트의 정리

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용