하디 공간

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 하디 공간(Hardy空間, 틀:Llang)은 하디 노름(틀:Llang)이라는 어떤 특별한 노름이 유한한, 단위 원판 위의 정칙 함수들로 구성된 위상 벡터 공간이다.

정의

양의 확장된 실수 $p\in (0,\mathrm{\infty }]$가 주어졌다고 하자. 열린 단위 원판

$Z=\{z\in ℂ:|z|<1\}$

위의 정칙 함수 $f:Z\to ℂ$에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.

$\Vert f{\Vert }_{{\mathrm{H}}^p}=\underset{0\le r<1}{\sup }\sqrt[p]{\frac{1}{2\pi }\oint |f(r\exp (\mathrm{i}\theta )){|}^p\mathrm{d}\theta }\in [0,\mathrm{\infty }]$

$\Vert f{\Vert }_{{\mathrm{H}}^{\mathrm{\infty }}}=\underset{z\in Z}{\sup }|f(z)|\in [0,\mathrm{\infty }]$

이 값이 유한한 정칙 함수들의 공간을 하디 공간이라고 하며, ${\mathrm{H}}^p$로 표기한다.

성질

만약 $1\le p\le \mathrm{\infty }$이라면, $\Vert -{\Vert }_{{\mathrm{H}}^p}$는 노름이며, ${\mathrm{H}}^p$는 복소수 바나흐 공간이다.

만약 $0<p<1$이라면, $\Vert -{\Vert }_{{\mathrm{H}}^p}$는 노름이 아니며, ${\mathrm{H}}^p$는 복소수 바나흐 공간이 아닌 위상 벡터 공간이다.

르베그 공간과의 관계

임의의 $p\in (0,\mathrm{\infty }]$ 및 $f\in {\mathrm{H}}^p$에 대하여,

$\iota (f)(\theta )=\underset{r\to 1}{\lim }f(r\exp (\mathrm{i}\theta ))$

는 거의 모든 $\theta$에 대하여 존재한다. 따라서, 이는 단사 포함 사상

$\iota :{\mathrm{H}}^p\to {\mathrm{L}}^p({𝕊}^1;ℂ)$

을 정의한다. 여기서 ${\mathrm{L}}^p({𝕊}^1;ℂ)$는 원 위의 복소수 값 르베그 공간이다.

역사

리스 프리제시가 1923년에 도입하였으며, 고드프리 해럴드 하디의 이름을 따 명명하였다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드