페도의 부등식

틀:위키데이터 속성 추적 페도의 부등식(Pedoe's inequality, -不等式)은 유클리드 기하학 및 삼각법의 부등식으로, 영국 수학자 대니얼 페도(Daniel Pedoe)의 이름이 붙어 있다. 임의로 두 삼각형이 주어져서 각각 세 변의 길이를 (a, b, c), (A, B, C)라고 하고 두 삼각형의 넓이를 각각 f와 F로 할 때, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

• $A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)\ge 16Ff.$

부등식의 등호가 성립할 필요충분조건은 두 삼각형이 닮음인 것이다. 이 부등식은 하트비거-핀슬러 부등식 및 유명한 바이첸뵈크 부등식의 일반화로 볼 수 있다.

증명

두 삼각형의 넓이는 헤론 공식을 사용해 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$16f^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)$

$16F^2=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^2+B^2+C^2{)}^2-2(A^4+B^4+C^4)$

코시-슈바르츠 부등식을 사용하면

$16Ff+2a^2{A}^2+2b^2{B}^2+2c^2{C}^2$

$\le \sqrt{(16f^2+2a^4+2b^4+2c^4)}\sqrt{(16F^2+2A^4+2B^4+2C^4)}$

$=(a^2+b^2+c^2)(A^2+B^2+C^2)$

으로 나타낼 수 있으며, 그러므로

$16Ff\le A^2(a^2+b^2+c^2)-2a^2{A}^2+B^2(a^2+b^2+c^2)-2b^2{B}^2+C^2(a^2+b^2+c^2)-2c^2{C}^2$

$=A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)$

으로 증명할 수 있다.

식의 필요충분조건은 $\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\sqrt{\frac{f}{F}}$으로, 즉 두 삼각형이 닮음일 때 성립된다.

같이 보기

• 바이첸뵈크 부등식
• 하트비거-핀슬러 부등식

참고 문헌

• "A Two-Triangle Inequality", Daniel Pedoe, The American Mathematical Monthly, volume 70, number 9, page 1012, November, 1963.
• "An Inequality for Two Triangles", D. Pedoe, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, volume 38, part 4, page 397, 1943.