바이첸뵈크 부등식

기하학에서 바이첸뵈크 부등식(틀:Llang)은 삼각형의 세 변의 길이의 제곱의 합과 넓이 사이에 성립하는 부등식이다.

정의

삼각형 $A B C$ 의 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 의 대변의 길이를 $a$ , $b$ , $c$ 라고 하고, 넓이를 $S$ 라고 하자. 그렇다면 다음 부등식이 성립하며, 이를 바이첸뵈크 부등식이라고 한다.^[1]틀:Rp

a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 4 \sqrt{3} S

등호가 성립될 필요 충분 조건은 정삼각형이다.

사실

\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S}

는 삼각형 $A B C$ 의 브로카르 각의 코탄젠트 값과 같다. 따라서 바이첸뵈크 부등식은 모든 삼각형의 브로카르 각이 $3 0^{\circ}$ 이하이며, 정확히 $3 0^{\circ}$ 일 필요 충분 조건은 정삼각형이라는 명제와 동치이다.

S = \frac{\sqrt{(a + b + c) (b + c - a) (a - b + c) (a + b - c)}}{4}

에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다.

\begin{matrix} (a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2} - (4 \sqrt{3} S)^{2} & = (a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2} - 3 (a + b + c) (b + c - a) (a - b + c) (a + b - c) \\ = (a^{4} + b^{4} + c^{4}) + 2 (a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}) - 3 (2 (a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}) - (a^{4} + b^{4} + c^{4})) \\ = 4 (a^{4} + b^{4} + c^{4}) - 4 (a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}) \\ = 2 ((a^{2} - b^{2})^{2} + (a^{2} - c^{2})^{2} + (b^{2} - c^{2})^{2}) \\ \geq 0 \end{matrix}

마지막 부등식에서 등식이 성립할 필요 충분 조건은 $a = b = c$ 이므로, 바이첸뵈르크 부등식에서 등식이 성립할 필요 충분 조건은 정삼각형이다.

편의상 $A \leq B \leq C$ 라고 하자. 꼭짓점 $C$ 를 지나는 대변 $A B$ 의 수선의 발을 $D$ 라고 하자. 그렇다면 피타고라스 정리에 따라

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} & = (c - A D)^{2} + C D^{2} + A D^{2} + C D^{2} + c^{2} \\ = 2 (A D^{2} + c^{2} - A D \cdot c + C D^{2}) \\ = 2 ({(A D - \frac{c}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2} c - C D)}^{2} + \sqrt{3} c \cdot C D) \\ \geq 2 \sqrt{3} c \cdot C D \\ = 4 \sqrt{3} S \end{matrix}

등식이 성립할 필요 충분 조건은

A D = \frac{c}{2}

\frac{\sqrt{3}}{2} c = C D

이며, 이는 정삼각형과 동치이다.

오스트리아의 수학자 롤란트 바이첸뵈크(틀:Llang)의 이름을 땄다.