닮음 (기하학)

닮은 도형들은 같은 색이 칠해져 있다.

기하학에서 닮음(틀:Llang) 또는 상사(相似)는 유클리드 공간의 모든 각을 보존하며 모든 거리를 일정한 비율로 확대 또는 축소시키는 아핀 변환이다. 모든 닮음은 고정점을 가지는 닮음과 등거리 변환의 합성으로 나타낼 수 있다. 평행 이동, 회전, 반사 등이 이러한 등거리 변환이 될 수 있다.

두 도형의 하나에 닮음에 대한 상을 취하여 다른 하나를 얻을 수 있다면 이 두 도형을 서로 닮음이라고 한다. 닮은 도형은 모양은 같거나 거울상이되 크기는 다를 수 있다. 예를 들어, 두 삼각형이 서로 닮음일 필요충분조건은 세 대응각의 크기가 각각 같고, 세 대응변의 길이의 비가 모두 같다.

위상수학에서는 더 나아가 구와 원뿔과 원기둥과 정육면체를 닮은 도형으로 간주한다. 정확하게는 위상동형(homeomorphism) 관계의 도형이다. 두 원, 두 직각이등변삼각형, 변의 개수 혹은 각의 개수가 같은 두 정다각형, 중심각의 크기 혹은 호의 길이가 같은 두 부채꼴, 두 구, 면의 개수가 같은 두 정다면체 등은 모두 항상 닮음이다. 또, 닮음의 조건(위)를 나타내면 SSS 닮음(세 변의 길이의 비가 각각 같다.), SAS 닮음(두 변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같다.), AA 닮음(두 각의 크기가 같다, 삼각형의 내각의 합은 180도이므로 두 각의 크기가 같으면 나머지 한 각의 크기도 구할 수 있다.)이다.

정의

양의 실수 $k\in {ℝ}^{+}$가 주어졌다고 하자.

비 $k$의 닮음(틀:Llang)는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $S:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$이다.

• 임의의 $𝐱,𝐲\in {ℝ}^n$에 대하여, $\Vert S(𝐱)-S(𝐲)\Vert =k\Vert 𝐱-𝐲\Vert$

이는 유클리드 공간의 가역 아핀 변환을 이룬다.틀:Rp

중심닮음

중심닮음을 취한 오각형

점 ${𝐱}_0\in {ℝ}^n$ 및 실수 $k\in ℝ$가 주어졌다고 하자.

중심 ${𝐱}_0$ 및 비 $k$의 중심닮음(호모세티)(틀:Llang)은 다음과 같은 함수이다.

$H_{{𝐱}_0,k}:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$

$H_{{𝐱}_0,k}:𝐱\mapsto {𝐱}_0+k(𝐱-{𝐱}_0)\mathrm{\forall }𝐱\in {ℝ}^n$

성질

아핀 변환 $S:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.틀:Rp

• $S$는 닮음이다.
• (각의 보존) 임의의 $𝐱,𝐲\in {ℝ}^n$에 대하여, $\frac{S(𝐱)\cdot S(𝐲)}{\Vert S(𝐱)\Vert \Vert S(𝐲)\Vert }=\frac{𝐱\cdot 𝐲}{\Vert 𝐱\Vert \Vert 𝐲\Vert }$
• (직각의 보존) 임의의 $𝐱,𝐲\in {ℝ}^n$에 대하여, $𝐱\cdot 𝐲=0$라면, $S(𝐱)\cdot S(𝐲)=0$

비 $k$의 닮음은 $d$차원 도형의 초부피를 $k^d$배 확대(축소)한다.

비가 $k$인 중심닮음은 비가 $|k|$인 닮음이다. 이는 $k>0$일 경우 방향을 보존하며, $k<0$일 경우 방향을 반전한다. 반대로, 비 $k$의 닮음이 고정점 ${𝐱}_0$을 가진다면, 이는 중심 ${𝐱}_0$ 및 비 $\pm k$의 중심닮음이다.

원점을 중심으로 하는 중심닮음은 선형 변환이다. 그 임의의 기저에 대한 행렬은 비가 $k$일 경우 $k_{n\times n}$이다.

모든 닮음은 중심닮음과 등거리 변환의 합성으로 나타낼 수 있다.틀:Rp

삼각형의 닮음

두 삼각형 $ABC$와 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$의 닮음은 Similarity의 라틴어 머릿글자 S를 옆으로 눕힌 기호(∽)를 사용한다. $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$와 같이 표기한다.

두 삼각형 $ABC$ 및 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. 즉, 두 삼각형은 서로 닮음이다.
• $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}$. 즉, 세 쌍의 대응변의 길이가 비례한다. 이를 변변변 닮음(틀:Llang)이라고 한다.
• $\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}$이며 $\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }{C}^{\prime }$. 즉, 두 쌍의 대응변의 길이가 비례하며, 그 사잇각의 크기가 같다. 이를 변각변 닮음(틀:Llang)이라고 한다.
• $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }{A}^{\prime }$이며 $\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }{B}^{\prime }$. 즉, 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같다. 이를 각각 닮음(틀:Llang)이라고 한다.

서로 닮음인 삼각형의 세 대응변의 길이의 비가 모두 $k$라면, 넓이의 비는 $k^2$이다.

예

모든 등거리 변환은 비 1의 닮음이다. 따라서 합동은 닮음의 특수한 경우다.

평면 ${ℝ}^2$ 위에서, 원점 $(0,0)$을 중심으로 하고 2를 비로 하는 중심닮음은 행렬로 표기하면 다음과 같다.

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2x\\ 2y\end{array}\right)\mathrm{\forall }(x,y)\in {ℝ}^2$

같이 보기

• 합동 (기하학)

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom