헤론 공식

삼각형$ABC$의 세 각 $A,B,C$ 및 이들이 마주하는 변 $a,b,c$

헤론 공식(Heron's formula)은 삼각형의 세 변의 길이를 통해 넓이를 구하는 공식이다. 직선으로 둘러싸인 도형은 아무리 복잡한 형태를 하고 있다고 해도 반드시 삼각형으로 쪼갤 수 있다. 또, 이 공식을 사용하면 높이를 따로 구할 필요가 없기 때문에, 토지의 면적을 구하는 데 편리한 공식으로써도 알려져 있다.

공식

길이가 각 $a,b,c$ 인 선분으로 이루어진 삼각형이 있을 때, 면적을 $S$ 라 하면,

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

가 성립한다. 여기서,

$s=\frac{a+b+c}{2}$

이다.

또 다르게 적는다면

$S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$

$S=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)}$

$S=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}$

$S=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}$

이렇게 된다.

역사

이 공식은 알렉산드리아의 헤론이 그의 저서 《Metrica》에서 증명을 써 놓았기 때문에 헤론의 공식이란 이름이 붙여졌다. 하지만 현재에는 공식이 아르키메데스에게서 비롯한 것이거나, 훨씬 이전부터 알고 있었을 수도 있었으리라 여겨지고 있다.

증명

일반적인 방법

삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c라고 하면, 이 삼각형의 넓이 S는

$S=\frac{1}{2}ab\sin C\cdots (1)$

에서, 코사인 법칙을 이용하면

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

$\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}=\sqrt{\frac{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}{4a^2{b}^2}}$.

여기서 얻어진 $\sin C$의 값을 $(1)$에 대입하면,

$S=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

다른 방법

그림과 같이 삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c 로 하고, A로부터 BC 또는 그 연장에 내린 수선 AH의 길이를 h, 선분 CH의 길이를 x라 한다. 이때 각ACB가 둔각이면 x는 음의 값을 갖는다.

피타고라스 정리에 의해 수선 AH에 의해 나뉜 삼각형AHC에 대해 다음의 식이 성립한다.

$x^2+h^2=b^2$

이제 $h^2$를 좌변으로 정리하면,

$h^2=b^2-x^2\cdots (2)$

같은 방법으로 삼각형 AHB에 대해 다음과 같이 정리할 수 있다.

$h^2=a^2-(c-x{)}^2$

이제 $h^2$를 소거하면 다음의 등식이 성립한다.

$b^2-x^2=a^2-(c-x{)}^2$

위의 등식을 간단히 정리하여 $x$에 대해 정리하면 다음과 같다.

$x=\frac{1}{2c}(c^2+b^2-a^2)$

이를$(2)$에 대입하면,

$h^2=b^2-(\frac{1}{2c}(-a^2+b^2+c^2){)}^2$

위의 등식을 h에 대해 정리하면,

$h^2=\frac{1}{4c^2}(4b^2{c}^2-(c^2+b^2-a^2{)}^2)$

$\therefore h=\sqrt{\frac{1}{4c^2}}\sqrt{(4b^2{c}^2-(c^2+b^2-a^2{)}^2)}=\frac{1}{2c}\sqrt{(4b^2{c}^2-(c^2+b^2-a^2{)}^2)}$

삼각형ABC의 넓이 S는 다음과 같이 계산된다.

$S=\frac{ch}{2}=\frac{c}{2}\frac{1}{2c}\sqrt{4b^2{c}^2-(c^2+b^2-a^2{)}^2}$

$\therefore S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

단, $s=\frac{a+b+c}{2}$

좌표평면을 이용한 증명

좌표상의 삼각형 ABC

삼각형 ABC의 세변 BC,CA,AB를 a,b,c라고 놓자.

그리고 오른쪽 삼각형처럼 B를 원점으로 하고 한변을 X축에 놓게 좌표평면에 그릴 수 있다. 이 때 점 C는 (Z,0) 점 A는 (X,Y)라 가정할 수 있다. 먼저 $a=Z,b=\sqrt{(X-Z{)}^2+Y^2},c=\sqrt{X^2+Y^2}$ 라고 할 수 있다.

이때 $s=\frac{Z+\sqrt{(X-Z{)}^2+Y^2}+\sqrt{X^2+Y^2}}{2},(s=\frac{a+b+c}{2})$

$s-a=\frac{-Z+\sqrt{(X-Z{)}^2+Y^2}+\sqrt{X^2+Y^2}}{2}$

$s-b=\frac{Z-\sqrt{(X-Z{)}^2+Y^2}+\sqrt{X^2+Y^2}}{2}$

$s-c=\frac{Z+\sqrt{(X-Z{)}^2+Y^2}-\sqrt{X^2+Y^2}}{2}$

$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ =$\sqrt{\frac{(-Z^2+(\sqrt{(X-Z{)}^2+Y^2}+\sqrt{X^2+Y^2}{)}^2{)}^2}{4}}$x$\sqrt{\frac{(Z^2-(\sqrt{(X-Z{)}^2+Y^2}-\sqrt{X^2+Y^2}{)}^2{)}^2}{4}}$

=$\sqrt{\frac{(2X^2+2Y^2-2XZ+2\sqrt{((X-Z{)}^2+Y^2)(X^2+Y^2)})}{4}}$ x $\sqrt{\frac{(2X^2+2Y^2-2XZ-2\sqrt{((X-Z{)}^2+Y^2)(X^2+Y^2)})}{4}}$

=$\frac{\sqrt{(YZ)(YZ)}}{2}$=$\frac{YZ}{2}$

삼각형 ABC의 넓이는 밑변인 BC 와 높이를 가지고 구할 수 있다.

$S=\frac{1}{2}BC\times h=\frac{1}{2}Z\times Y=\frac{YZ}{2}$

$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

증명들 중에서는 일부 창의적인 방식을 통해 증명해 나가는 경우가 있다. 보조선을 사용하는 것이 그 예이다. 이때 좌표평면을 사용하면 어려운 증명이라도 계산만 복잡할 뿐 많은 것을 증명할 수 가 있다. 이제 한번 좌표평면으로 헤론의 공식을 증명해보아 별다른 방식 없이도 가능하다는 것을 보일 수 있었다.

일반화

헤론의 공식은 원에 내접하는 사각형의 넓이를 구하는 브라마굽타 공식의 특별한 경우로 생각할 수 있다.

헤론의 공식과 브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식의 사변형에 대한 특별한 경우이다

헤론의 공식은 브라마굽타 공식 또는 브레치나이더 공식에서 사변형의 변 중 하나를 0으로 설정하여 얻을 수 있다.

또한, 헤론의 공식을 행렬식으로 표현하면 다음과 같다.

$S=\frac{1}{4}\sqrt{\left|\begin{array}{cccc}0& a^2& b^2& 1\\ a^2& 0& c^2& 1\\ b^2& c^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right|}$

사면체의 부피를 케일리-멩거 행렬식을 통해 나타낸 공식은 헤론의 공식의 일반화이다. 이를 전개한 공식은 15세기에 피에로 델라 프란체스카가 발견한 공식과 일치한다.

같이 보기

• 삼각함수
• 삼각행렬