준동형 정리

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 준동형 정리(準同型定理, 틀:Llang)는 수학의 여러 분야에서 나타나는 준동형에 관한 기초적인 정리이다. 동형 정리와 밀접한 관련이 있으며, 이를 증명하는 데 이용되기도 한다.

정의

같은 형의 대수 구조 $A$와 $B$ 및 그 사이의 준동형 $\varphi :A\to B$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $A$ 위에 합동 관계 ${\sim }_{\varphi }$를

$a{\sim }_{\varphi }{a}^{\prime }⟺\varphi (a)=\varphi (a^{\prime })\mathrm{\forall }a,a^{\prime }\in A$

로 정의할 수 있다. ${\sim }_{\theta }$가 ${\sim }_{\varphi }$보다 더 고른 $A$ 위의 합동 관계라고 하자. 즉,

$a{\sim }_{\theta }{a}^{\prime }⟹a{\sim }_{\varphi }{a}^{\prime }$

라고 하자. 또한, $\theta :A\to A/{\sim }_{\theta }$가 자연스러운 몫 준동형이라고 하자. 준동형 정리에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.

• $\chi \circ \theta =\varphi$인 준동형 $\chi :A/{\sim }_{\theta }\to B$가 유일하게 존재한다.
• 만약 $\varphi$가 전사 함수라면 $\chi$ 역시 전사 함수이다.
• 만약 ${\sim }_{\theta }={\sim }_{\varphi }$라면, $\chi$는 단사 함수이다.

이로부터 제1 동형 정리를 따름정리로 얻을 수 있다.

예

이 정리는 보편 대수학의 정리이므로, 임의의 대수 구조에 대하여 성립한다.

군에 대한 형태

군 준동형 $\varphi :G\to H$ 및 정규 부분군 $K⊲G$가 있고, $K\le \ker \varphi$라고 하자. $\theta :G\to G/K$가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

• $\chi \circ \theta =\varphi$인 군 준동형 $\chi :G/K\to H$가 유일하게 존재한다.
• 만약 $\varphi$가 전사 함수라면 $\chi$ 역시 전사 함수이다.
• 만약 $K=\ker \varphi$라면, $\chi$는 단사 함수이다.

환에 대한 형태

환 준동형 $\varphi :R\to S$ 및 $R$의 아이디얼 $𝔞\subset R$가 있고, $𝔞\subset {\varphi }^{-1}(0)$이라고 하자. 또한, $\theta :R\to R/𝔞$가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

• $\chi \circ \theta =\varphi$인 환 준동형 $\chi :R/𝔞\to S$가 유일하게 존재한다.
• 만약 $\varphi$가 전사 함수라면 $\chi$ 역시 전사 함수이다.
• 만약 $𝔞={\varphi }^{-1}(0)$이라면, $\chi$는 단사 함수이다.

가군에 대한 형태

환 $R$의 왼쪽 가군 $M,N$ 사이의 가군 준동형 $\varphi :M\to N$ 및 $M$의 부분 가군 $P\subset M$가 있고, $P\subset {\varphi }^{-1}(0)$이라고 하자. 또한, $\theta :M\to M/P$가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

• $\chi \circ \theta =\varphi$인 가군 준동형 $\chi :M/P\to N$이 유일하게 존재한다.
• 만약 $\varphi$가 전사 함수라면 $\chi$ 역시 전사 함수이다.
• 만약 $P={\varphi }^{-1}(0)$이라면, $\chi$는 단사 함수이다.

외부 링크

• 플래닛매스, 군론에서의 형태 증명

같이 보기

• 동형 정리
• 대수 구조
• 준동형