동형 정리

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 동형 정리(同型定理, 틀:Llang)는 준동형과 부분 대수, 합동 관계 사이의 관계를 나타내는 3개의 정리다.틀:Rp 이는 보편 대수학의 정리로, 임의의 대수 구조에 대하여 정의할 수 있다.

정의

대수 구조 $(S,F)$는 집합 $S$와, $S^{\times n}\to S$ 꼴의 함수들의 집합 $F$의 순서쌍이다. 같은 연산들을 갖는 두 대수의 준동형은 연산들을 보존시키는 함수이다.

제1 동형 정리

대수 준동형 $\varphi :A\to B$에 대하여, 다음 명제들이 성립한다.

• $\varphi (A)\subset B$는 $B$의 부분대수이다.
• $a\sim b⟺\varphi (a)=\varphi (b)$는 $A$ 위의 합동 관계이다.
• $\varphi /\sim :A/\sim \to \varphi (A)$는 대수의 동형 사상이다.

제2 동형 정리

대수 $(A,F)$ 및 부분대수 $(B,F{|}_B)\subset (A,F)$ 및 $A$ 위의 합동 관계 $\sim$가 주어졌다고 하면, 다음 명제들이 성립한다.

• $\sim {|}_B$는 $B$ 위의 합동 관계이다.
• $B^{\sim }=\{a\in A|[a]\cap B\ne \varnothing \}$가 $B$와 겹치는 $\sim$-동치류들의 원소들의 집합이라고 하자. 그렇다면 $B^{\sim }$은 $A$의 부분대수이다.
• $B^{\sim }/\sim {|}_{B^{\sim }}$은 $B/\sim {|}_B$와 동형이다.

제3 동형 정리

대수 $A$ 위에 두 합동 관계 ${\sim }_1,{\sim }_2$가 주어졌으며, $a{\sim }_{1}b$라면 $a{\sim }_{2}b$이라고 하자. 즉, ${\sim }_1$이 ${\sim }_2$보다 더 고른 동치 관계라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

• $A/{\sim }_1$ 위의 이항 관계 ${\sim }_2/{\sim }_1$를 $[a]{\sim }_2/{\sim }_1[b]⟺a{\sim }_{2}b$로 정의하자. 그렇다면 ${\sim }_2/{\sim }_1$는 $A/{\sim }_1$ 위의 합동 관계이다.
• $(A/{\sim }_1)/({\sim }_2/{\sim }_1)$는 $A/{\sim }_2$과 동형이다.

예

위 3개의 동형 정리는 보편 대수학에 따라, 임의의 대수 구조에 적용할 수 있다. 대표적인 예는 다음과 같다.

보편 대수	군	환	가군
대수 구조 $A$	군 $G$	환 $R$	$R$-왼쪽 가군 $M$
합동 관계 $\sim$	정규 부분군 $N⊲G$	아이디얼 $𝔞\subset R$	부분가군 $N\subset M$
부분 대수 $B\subset A$	부분군 $H\le G$	부분환 $S\subset R$	부분가군 $P\subset M$
$B^{\sim }\subset A$	$HN\le G$	$S+𝔞\subset R$	$N+P\subset M$
$\sim {|}_B$	$H\cap N⊲H$	$S\cap 𝔞\subset S$	$N\cap P\subset N$
$\sim {|}_{B^{\sim }}$	$N$	$𝔞$	$P$
${\sim }_1$이 ${\sim }_2$보다 더 고름	$N_1\subset N_2$	${𝔞}_1\subset {𝔞}_2$	$N_1\subset N_2$
${\sim }_2/{\sim }_1$	$N_2/N_1⊲G/N_1$	${𝔞}_2/{𝔞}_1\subset R/{𝔞}_1$	$N_2/N_1\subset M/N_1$

군 동형 정리

제1 동형 정리

군 준동형 $\varphi :G\to L$에 대하여,

• $\varphi (G)\le L$
• $\ker \varphi ⊲G$
• $G/\ker \varphi \cong \varphi (G)$

제2 동형 정리

군 $G$ 및 부분군 $H\le G$ 및 정규 부분군 $N⊲G$에 대하여,

• $H\cap N⊲H$
• $HN\le G$
• $(HN)/N\cong H/(H\cap N)$

제3 동형 정리

군 $G$ 및 정규 부분군 $N_1\le N_2⊲G$에 대하여,

• $N_2/N_1⊲G/N_1$
• $(G/N_1)/(N_2/N_1)\cong G/N_2$

환 동형 정리

제1 동형 정리

환 준동형 $\varphi :R\to S$에 대하여,

• $\varphi (R)$는 $S$의 부분환이다.
• $\ker \varphi$는 $R$의 아이디얼이다.
• $R/\ker \varphi \cong \varphi (R)$

제2 동형 정리

환 $R$ 및 부분환 $S\subset R$ 및 아이디얼 $𝔞\subset R$에 대하여,

• $S\cap 𝔞$는 $S$의 아이디얼이다.
• $S+𝔞$는 $R$의 부분환이다.
• $(S+𝔞)/𝔞\cong S/(S\cap 𝔞)$

제3 동형 정리

환 $R$ 및 아이디얼 ${𝔞}_1\subset {𝔞}_2\subset R$에 대하여,

• ${𝔞}_2/{𝔞}_1$은 $R/{𝔞}_1$의 아이디얼이다.
• $(R/{𝔞}_1)/({𝔞}_2/{𝔞}_1)\cong R/{𝔞}_2$

가군 동형 정리

모든 가군은 주어진 환 $R$에 대한 왼쪽 가군이다.

제1 동형 정리

가군 준동형 $\varphi :M\to N$에 대하여,

• $\varphi (M)$은 $N$의 부분가군이다.
• $\ker \varphi$는 $M$의 부분가군이다.
• $M/\ker \varphi \cong \varphi (M)$

제2 동형 정리

가군 $M$의 부분가군 $N,P\subset M$에 대하여,

• $N\cap P$는 $N$의 부분가군이다.
• $(N+P)/P$는 $M/N$의 부분가군이다.
  • 따라서, $N+P$는 $M$의 부분가군이다.
• $(N+P)/P\cong N/(N\cap P)$

제3 동형 정리

가군 $M$의 부분가군 $N_1\subset N_2\subset M$에 대하여,

• $N_2/N_1$은 $M/N_1$의 부분가군이다.
• $(M/N_1)/(N_2/N_1)\cong M/N_2$

역사

에미 뇌터가 1927년에 증명하였다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:매스월드
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같이 보기

• 준동형 정리