작용소군

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 작용소군(作用素群, 틀:Llang)은 어떤 모노이드의 작용을 갖춘 군이다. 군과 가군의 공통적인 일반화이다.

정의

작용소군 $(G,\mathrm{\Omega },\varphi )$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.틀:Rp

• $G$는 군이다.
• $\mathrm{\Omega }$는 모노이드이다. 이 모노이드의 원소를 작용소(틀:Llang)라고 한다.
• $\varphi :\mathrm{\Omega }\to \mathrm{End}(G)$는 모노이드의 준동형이다.

일부 저자들은 $\mathrm{\Omega }$가 반군(즉, 단위원을 가지지 않을 수 있음)일 경우를 허용하기도 한다. 이 경우, 자명하게 항등원을 추가할 수 있으므로 사실상 같은 개념을 얻는다.

작용소 모노이드가 $\mathrm{\Omega }$인 작용소군을 $\mathrm{\Omega }$-작용소군(틀:Llang)이라고 한다. 주어진 $\mathrm{\Omega }$에 대하여, $\mathrm{\Omega }$-작용소군들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. $\mathrm{\Omega }$-작용소군에서, $\mathrm{\Omega }$의 구조를 보존시키는 부분군을 허용 가능 부분군(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

예

작용소군의 대표적인 예로는 다음이 있다.

군	작용소 집합 $\mathrm{\Omega }$	작용	허용 가능 부분군
$G$	한원소 집합 $\{\bullet \}$	항등 함수	(임의의) 부분군
$G$	$G$	$g:h\mapsto gh{g}^{-1}$	정규 부분군
$G$	자기 동형군 $\mathrm{Aut}G$	자기 사상의 작용	특성 부분군(틀:Llang)
$G$	자기 준동형 모노이드 $\mathrm{End}G$	자기 사상의 작용	완전 불변 부분군(틀:Llang)
$R$ 위의 왼쪽 가군 $M$	환의 곱셈 모노이드 $(R,\cdot )$	가군 작용	부분 가군

응용

조르당-횔더 정리는 적어도 하나의 합성열을 갖는 작용소군에 대하여 성립한다. 이를 통해, 군에 대한 조르당-횔더 정리와 가군에 대한 조르당-횔더 정리를 공통적으로 일반화할 수 있다.

외부 링크

• 틀:Eom