자기 쌍대 양-밀스 이론

틀:위키데이터 속성 추적 자기 쌍대 양-밀스 이론(틀:Llang)은 4차원 공간 위의 양-밀스 순간자를 다루는 양자장론이다.

정의

다음과 같은 기하학적 구조가 주어졌다고 하자.

• 4차원 (유클리드 부호수) 리만 다양체 $(M,g)$. 이는 시공간에 해당한다.
• 콤팩트 리 군 $G$ 및 그 리 대수 위의 이차 형식 $\mathrm{Tr}(AB)$
• $G$-주다발 $P\twoheadrightarrow M$

자기 쌍대 양-밀스 이론은 다음과 같은 장을 갖는다.

• $P$의 주접속 $A$. 그 주곡률 $F\in {\mathrm{\Omega }}^2(M;\mathrm{ad}(P))$이다.
• 자기 반쌍대 보조장 $L\in \mathrm{\Gamma }({\mathrm{T}}^{\wedge 2}M\otimes \mathrm{ad}(P))$

이에 대한 작용은 다음과 같다.

$\exp (-S)=\exp (\tau \int {\mathrm{d}}^{4}x\mathrm{tr}(F\wedge \star F)+\mathrm{i}\int {\mathrm{d}}^{4}x\mathrm{tr}(P\wedge F))$

작용에서, 리만 계량은 직접 등장하지 않으며, 대신 2차 형식의 호지 쌍대 $\star :{\mathrm{\Omega }}^2(M)\to {\mathrm{\Omega }}^2(M)$만이 등장한다. 특히, 이 작용은 (고전적으로) 리만 계량의 등각 변환

$g\mapsto \exp (\varphi )g(\varphi \in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,ℝ))$

에 대하여 불변이다.

이에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.

$F=\star F$

$P=0$

즉, 그 짜임새 공간은 양-밀스 순간자의 공간과 같다.

이 작용에서, 보조장이 자기 반쌍대인 것은 추가로 부여해야 하는 제약이다. 이러한 제약이 없이는 명백히 로런츠 불변인 작용을 적을 수 없다.

초대칭 자기 쌍대 양-밀스 이론

이 이론에 페르미온을 추가하여 초대칭을 따르게 할 수 있다. 4차원에서, 하나의 게이지 장은 2개의 질량껍질 위 자유도를 가지므로, 자기 쌍대 게이지 장은 1개의 질량껍질 위 자유도를 가진다. 4차원에서 1개의 자유도를 갖는 페르미온은 마요라나-바일 스피너가 되어야 하는데, 이는 부호수 (2,2)에서만 가능하다. (반면, 자기 쌍대 게이지 장이 존재하라면 부호수가 (4,0) 또는 (2,2)일 수 있다.)

성질

이 이론의 작용에 항 $ϵ\int \mathrm{tr}(L\wedge L)$를 추가한다면, 이 이론은 일반 양-밀스 이론과 동치이게 된다.

역사

고든 차머스(틀:Llang)와 워런 시걸(틀:Llang)이 1997년에 도입하였다.

각주

• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Nlab