월먼 콤팩트화

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서 월먼 콤팩트화(틀:Llang)는 임의의 T₁ 공간을 콤팩트 T₁ 공간으로 확장하는 방법이다. 대략, 유한 교집합 성질을 만족시키는 닫힌집합들의 집합족의 교집합이 공집합인 경우, 새로운 점을 이 교집합의 원소로 추가해 준다.

정의

T₁ 공간 $X$의 월먼 콤팩트화 $\omega X$는 집합으로서 $X$의 닫힌집합들의 부분 순서 집합 $𝒞(X)$의 극대 필터들의 집합이다. 이 위의 위상은 다음과 같은 기저를 통해 주어진다.

$\{\{ℱ\in \omega X:F\in ̸ℱ\}:F\in 𝒞(X)\}$

이 경우, $wX$는 콤팩트 T₁ 공간이며, 함수

$\iota :X\to \omega X$

$\iota :x\mapsto \{F\in 𝒞(X):x\in F\}$

는 위상수학적 매장이다. 이 함수의 상 $\iota (X)$은 $\omega X$의 조밀 집합이다. 또한, 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 $Y$ 및 연속 함수 $f:X\to Y$에 대하여, $\tilde{f}\circ \iota =f$인 연속 함수 $\tilde{f}:\omega X\to Y$가 존재한다.

$\begin{array}{ccc}X& \stackrel{f}{\to }& Y\\ \iota \downarrow & \nearrow \tilde{f}\\ \omega X\end{array}$

성질

T₁ 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\omega X$는 하우스도르프 공간이다.
• $X$는 정규 공간이다.

이에 따라, 정규 T₁ 공간의 월먼 콤팩트화는 스톤-체흐 콤팩트화와 일치한다.

같이 보기

• 격자 (순서론)

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab