슈톨츠-체사로 정리

해석학에서 슈톨츠-체사로 정리(틀:Llang)는 두 수열의 비가 수렴할 충분조건을 제시하는 정리이다. 체사로 평균의 일반화로 볼 수 있다. 또한 이는 로피탈의 정리의 이산적인 형태로 볼 수 있는데, 도함수의 개념 대신 계차수열의 개념을 사용한다.

정의

두 실수열 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• 분모 수열이 다음 세 조건 가운데 하나를 만족시킨다.
  • (0에 수렴하는 순단조수열) $b_1<b_2<\cdots$이거나 $b_1>b_2>\cdots$이며, 또한 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=0$
  • (양의 무한대에 수렴하는 순증가수열) $b_1<b_2<\cdots$이며, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=+\mathrm{\infty }$ (이는 무계 순증가수열과 동치이다.)
  • (음의 무한대에 수렴하는 순감소수열) $b_1>b_2>\cdots$이며, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=-\mathrm{\infty }$ (이는 무계 순감소수열과 동치이다.)
• (계차수열의 비의 넓은 의미 수렴) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }{a}_n}{\mathrm{\Delta }{b}_n}\in ℝ\bigsqcup \{\pm \mathrm{\infty }\}$

그렇다면, 슈톨츠-체사로 정리에 따르면 다음이 성립한다.

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }{a}_n}{\mathrm{\Delta }{b}_n}\in ℝ\bigsqcup \{\pm \mathrm{\infty }\}$

증명

가장 기본적인, $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$이 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, 비의 극한이 실수에 수렴하는 경우를 증명하자. 우선 다음과 같이 정의하자.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }{a}_n}{\mathrm{\Delta }{b}_n}=\ell$

그렇다면, $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$이 순증가수열임을 같이 고려하면, 임의의 $ϵ>0$에 대하여, $N\in \mathbb{N}$이 존재하여, 임의의 $n\ge N$에 대하여 다음이 성립한다.

$(\ell -ϵ)\mathrm{\Delta }{b}_n<\mathrm{\Delta }{a}_n<(\ell +ϵ)\mathrm{\Delta }{b}_n$

이를 $n$에 $N,N+1,\dots ,n$를 대입하여 합을 구하면

$(\ell -ϵ)(b_n-b_N)<a_n-a_N<(\ell +ϵ)(b_n-b_N)$

이다. 또한 $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$의 모든 항이 0보다 크다 가정할 수 있으므로,

$(\ell -ϵ)(1-\frac{b_N}{b_n})<\frac{a_n}{b_n}-\frac{a_N}{b_n}<(\ell +ϵ)(1-\frac{b_N}{b_n})$

이다. 여기서 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=+\mathrm{\infty }$이므로, $N^{\prime }\in \mathbb{N}$이 존재하여, 임의의 $n\ge N^{\prime }$에 대하여,

$\ell -2ϵ<\frac{a_n}{b_n}<\ell +2ϵ$

이다. 즉,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\ell$

관련 명제

부분적 역

슈톨츠-체사로 정리의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 두 수열

$(a_n)=(10,10,100,100,1000,1000,\dots )$

$(b_n)=(10,11,100,101,1000,1001,\dots )$

을 정의하였을 때, $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=1$이지만, $\frac{\mathrm{\Delta }{a}_n}{\mathrm{\Delta }{b}_n}$의 극한은 존재하지 않는다. 그러나 그 부분적 역인 다음 명제는 참이다. 두 실수열 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• $b_n,\mathrm{\Delta }{b}_n\ne 0\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$
• $\left(\frac{b_n}{\mathrm{\Delta }{b}_n}\right){}_{n\in \mathbb{N}}$은 유계 수열이다.
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}\in ℝ\bigsqcup \{\pm \mathrm{\infty }\}$

그렇다면, 다음이 성립한다.

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }{a}_n}{\mathrm{\Delta }{b}_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}\in ℝ\bigsqcup \{\pm \mathrm{\infty }\}$

한 가지 변형

슈톨츠-체사로 정리의 한 가지 변형은 다음과 같다. 두 실수열 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• $a_n,b_n>0\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$
• $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이다.
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[b_{n+1}-b_n]{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\in ℝ\bigsqcup \{\pm \mathrm{\infty }\}$

그렇다면, 다음이 성립한다.

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[b_n]{a_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[b_{n+1}-b_n]{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\in ℝ\bigsqcup \{\pm \mathrm{\infty }\}$

일반화

슈톨츠-체사로 정리의 일반화된 형식은 다음과 같다. 실수열 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$과, 양의 무한대에 수렴하는 순증가 실수열 $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$에 대하여 다음이 성립한다.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{\mathrm{\Delta }{a}_n}{\mathrm{\Delta }{b}_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{a_n}{b_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_n}{b_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\mathrm{\Delta }{a}_n}{\mathrm{\Delta }{b}_n}$

예

슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 다음과 같은 극한을 구해보자.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+2^k+\cdots +n^k}{n^{k+1}}=\frac{1}{k+1}(k\in \mathbb{N})$

분모는 정리의 전제를 만족시킨다. 즉, $(n^{k+1}{)}_{n\in \mathbb{N}}(k\in \mathbb{N})$는 양의 무한대에 수렴하는 증가수열이다. 이에 따라, 이 극한은 계차수열의 비의 극한과 같다.

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+2^k+\cdots +n^k}{n^{k+1}}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(n+1{)}^k}{(n+1{)}^{k+1}-n^{k+1}}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^k+k{n}^{k-1}+\cdots }{(k+1)n^k+\frac{k(k+1)}{2}{n}^{k-1}+\cdots }\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+k\cdot \frac{1}{n}+\cdots }{(k+1)+\frac{k(k+1)}{2}\cdot \frac{1}{n}+\cdots }\\ & =\frac{1}{k+1}\end{array}$

평균의 극한

슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 일부 평균의 극한에 대한 명제를 증명할 수 있다. 즉, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a$인 실수열 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$에 대하여 다음이 성립한다.

(산술 평균의 극한) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}=a$

(기하 평균의 극한) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}=a$

(조화 평균의 극한) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}}=a$

(멱평균의 극한) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[p]{\frac{a_1^p+a_2^p+\cdots +a_n^p}{n}}=a(p\ne 0)$

(일반화된 f-평균의 극한) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}^{-1}\left(\frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_n)}{n}\right)=a$ ($f$는 가역 연속 함수)

마찬가지로, 다음이 성립한다. (여기서 $w_n>0\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$이며 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{w}_n=+\mathrm{\infty }$이다.)

(가중 산술 평균의 극한) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{w_1{a}_1+w_2{a}_2+\cdots +w_n{a}_n}{w_1+w_2+\cdots +w_n}=a$

(가중 기하 평균의 극한) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[w_1+w_2+\cdots +w_n]{a_1^{w_1}{a}_2^{w_2}\cdots a_n^{w_n}}=a$

(가중 조화 평균의 극한) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{w_1+w_2+\cdots +w_n}{\frac{w_1}{a_1}+\frac{w_2}{a_2}+\cdots +\frac{w_n}{a_n}}=a$

(가중 멱평균의 극한) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[p]{\frac{w_1{a}_1^p+w_2{a}_2^p+\cdots +w_n{a}_n^p}{w_1+w_2+\cdots +w_n}}=a$

(가중 일반화된 f-평균의 극한) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}^{-1}\left(\frac{w_{1}f(a_1)+w_{2}f(a_2)+\cdots +w_{n}f(a_n)}{w_1+w_2+\cdots +w_n}\right)=a$ ($f$는 가역 연속 함수)

기타

슈톨츠-체사로 정리는 로피탈의 정리의 증명에 사용될 수 있다.

역사

오스트리아의 수학자 오토 슈톨츠(틀:Llang)와 이탈리아의 수학자 에르네스토 체사로(틀:Llang)가 제시하였다.

같이 보기

• 로피탈의 정리
• 타우버의 정리
• 코시 수렴 판정법
• 수열의 극한
• 점근 표기법
• 체사로 평균
• 체사로 합

참고 문헌

• 틀:인용.
• 틀:인용.
• 틀:Книга
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:플래닛매스
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