코시 수렴 판정법

틀:위키데이터 속성 추적 해석학에서 코시 수렴 판정법(틀:Llang)은 급수의 수렴 판정법의 하나이다. 이 판정법에 의하면, 급수가 수렴한다는 것은 부분합 수열이 코시 수열인 것과 동치이다.

정의

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

실수항 또는 복소수항 급수

$𝕂$ 위의 수열 $(x_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\subseteq 𝕂$이 주어졌다고 하자. 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$은 수렴한다.
• 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{ϵ}\in \mathbb{N}$가 존재한다.
  • 임의의 $m,n>N_{ϵ}$에 대하여, $\left|{\sum }_{k=m+1}^n{x}_k\right|<ϵ$

여기서 $|\cdot |$는 절댓값이다. 틀:증명 첫 번째 조건은 부분합 ${\sum }_{k=0}^n{x}_k$의 수렴을 일컫는다. 두 번째 조건은 부분합이 코시 점렬임을 뜻한다. $𝕂$는 완비 거리 공간을 이루므로, 부분합이 수렴하는 것은 부분합이 코시 점렬인 것과 동치이다. 틀:증명 끝

바나흐 공간 위의 급수

$𝕂$-바나흐 공간 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 위의 점렬 $(x_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\subseteq X$이 주어졌다고 하자. 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$은 수렴한다.
• 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{ϵ}\in \mathbb{N}$가 존재한다.
  • 임의의 $m,n>N_{ϵ}$에 대하여, $\Vert {\sum }_{k=m+1}^n{x}_k\Vert <ϵ$

틀:증명 첫 번째 조건은 부분합 ${\sum }_{k=0}^n{x}_k$의 수렴을 일컫는다. 두 번째 조건은 부분합이 코시 점렬임을 뜻한다. $X$는 완비 거리 공간을 이루므로, 부분합이 수렴하는 것은 부분합이 코시 점렬인 것과 동치이다. 틀:증명 끝

함수항 급수

집합 $S$ 및 $𝕂$값 함수열 $f_n:S\to 𝕂$ ($n\in \mathbb{N}$)이 주어졌다고 하자. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$은 균등 수렴한다.
• 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{ϵ}\in \mathbb{N}$가 존재한다.
  • 임의의 $m,n>N_{ϵ}$ 및 $s\in S$에 대하여, $|{\sum }_{k=m+1}^n{f}_k(s)|<ϵ$

틀:증명 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{ϵ}$가 존재한다.

임의의 $n>N_{ϵ}$ 및 $s\in S$에 대하여, $|{\sum }_{k=0}^n{f}_k(s)-{\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(s)|<\frac{ϵ}{2}$

따라서, 임의의 $n>m>N_{ϵ}$ 및 $s\in S$에 대하여,

$|\sum _{k=m+1}^n{f}_n(s)|=|\sum _{k=0}^n{f}_k(s)-\sum _{k=0}^m{f}_k(s)|\le |\sum _{k=0}^n{f}_k(s)-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(s)|+|\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(s)-\sum _{k=0}^m{f}_k(s)|<ϵ$

이다.

반대로, 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{ϵ}\in \mathbb{N}$가 존재한다고 가정하자.

임의의 $m,n>N_{ϵ}$ 및 $s\in S$에 대하여, $|{\sum }_{k=m+1}^n{f}_k(s)|<ϵ$

그렇다면, 각 $s\in S$에서의 부분합 ${\sum }_{k=0}^n{f}_k(s)$는 $𝕂$ 위의 코시 수열이며, 따라서 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(s)$은 수렴한다. 이제, 위 조건에서 $n\to \mathrm{\infty }$을 취하면 다음을 얻는다.

임의의 $m>N_{ϵ}$ 및 $s\in S$에 대하여, $|{\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(s)-{\sum }_{k=0}^m{f}_k(s)|<ϵ$

이에 따라, ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$은 균등 수렴한다. 틀:증명 끝

보다 일반적으로, 집합 $S$ 및 $𝕂$-바나흐 공간 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 및 $X$값 함수열 $f_n:S\to X$ ($n\in \mathbb{N}$)이 주어졌다고 하자. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$은 균등 수렴한다.
• 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{ϵ}\in \mathbb{N}$가 존재한다.
  • 임의의 $m,n>N_{ϵ}$ 및 $s\in S$에 대하여, $\Vert {\sum }_{k=m+1}^n{f}_k(s)\Vert <ϵ$

틀:증명 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{ϵ}$가 존재한다.

임의의 $n>N_{ϵ}$ 및 $s\in S$에 대하여, $\Vert {\sum }_{k=0}^n{f}_k(s)-{\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(s)\Vert <\frac{ϵ}{2}$

따라서, 임의의 $n>m>N_{ϵ}$ 및 $s\in S$에 대하여,

$\Vert \sum _{k=m+1}^n{f}_n(s)\Vert =\Vert \sum _{k=0}^n{f}_k(s)-\sum _{k=0}^m{f}_k(s)\Vert \le \Vert \sum _{k=0}^n{f}_k(s)-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(s)\Vert +\Vert \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(s)-\sum _{k=0}^m{f}_k(s)\Vert <ϵ$

이다.

반대로, 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{ϵ}\in \mathbb{N}$가 존재한다고 가정하자.

임의의 $m,n>N_{ϵ}$ 및 $s\in S$에 대하여, $\Vert {\sum }_{k=m+1}^n{f}_k(s)\Vert <ϵ$

그렇다면, 각 $s\in S$에서의 부분합 ${\sum }_{k=0}^n{f}_k(s)$는 $𝕂$ 위의 코시 수열이며, 따라서 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(s)$은 수렴한다. 이제, 위 조건에서 $n\to \mathrm{\infty }$을 취하면 다음을 얻는다.

임의의 $m>N_{ϵ}$ 및 $s\in S$에 대하여, $\Vert {\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(s)-{\sum }_{k=0}^m{f}_k(s)\Vert <ϵ$

이에 따라, ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$은 균등 수렴한다. 틀:증명 끝

임의의 집합 $S$ 및 $𝕂$-바나흐 공간 $(X,\Vert \cdot \Vert )$에 대하여, 유계 함수 $S\to X$의 집합 $ℬ(S,X)$은 점별 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 대하여 벡터 공간을 이루며, 또한 다음과 같은 상한 노름에 대하여 $𝕂$-바나흐 공간을 이룬다.

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{s\in S}{\sup }\Vert f(s)\Vert (f\in ℬ(S,X))$

만약 각 $f_n$이 유계 함수라면, 첫 번째 조건은 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$이 상한 노름에 대하여 수렴하는 것과 동치이며, 두 번째 조건은 부분합 ${\sum }_{k=0}^n{f}_k$이 상한 노름에 대하여 $ℬ(S,X)$ 위의 코시 점렬을 이루는 것과 동치이다.

따름정리

일반항 판정법은 코시 수렴 판정법에서 $n=m+1$을 취한 특수한 경우로 생각할 수 있다.

모든 절대 수렴 급수는 수렴한다는 사실은 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

바이어슈트라스 M-판정법은 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

관련 정리

함수의 극한에 대한 코시 수렴 판정법

임의의 열린구간 $I\subseteq ℝ$ 및 $a\in I$ 및 함수 $f:I\setminus \{a\}\to ℝ$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 함수의 극한 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$이 존재한다.
• 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여, 다음을 만족시키는 양의 실수 ${\delta }_{ϵ}>0$가 존재한다.
  • 임의의 $0<|x-a|,|y-a|<{\delta }_{ϵ}$에 대하여, $|f(x)-f(y)|<ϵ$

이상 적분에 대한 코시 수렴 판정법

이상 적분

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

$f:[a,\mathrm{\infty })\to 𝕂$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$는 수렴한다.
• 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여, 다음을 만족시키는 실수 $M>a$가 존재한다.
  • 임의의 $x,y>M$에 대하여, $\left|{\int }_x^{y}f(t)\mathrm{d}t\right|<ϵ$

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드