계차수열

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서, 수열의 계차수열(階差數列)은 그 수열의 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 수열이다. 예를 들어 수열

의 계차수열은

과 같다. 수열 {틀:수학의 계차수열의 일반항은 틀:수학이다.

정의

수열 틀:수학의 계차수열은 다음과 같은 수열 틀:수학이다.^[1]

Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n}

또, 틀:수학의 계차수열

Δ Δ a_{n} = Δ a_{n + 1} - Δ a_{n} = a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} + a_{n}

을 제 2계차수열이라고 하고, 틀:수학으로 표기한다.

임의의 자연수 틀:Mvar에 대하여 제 틀:Mvar계차수열(틀:Lang) 틀:수학은 다음과 같이 정의된다.

Δ^{k} a_{n} = \underset{k}{\underset{⏟}{Δ Δ \dots Δ}} a_{n}

또는 (점화식을 써서)^[1]

Δ^{0} a_{n} = a_{n}

Δ^{k + 1} a_{n} = Δ Δ^{k} a_{n} = Δ^{k} a_{n + 1} - Δ^{k} a_{n}

위에서 알 수 있듯이, 틀:Mvar의 영계 차수열은 자기 자신, 일계 차수열은 틀:수학이다.

임의의 수열 틀:수학은 초항과 일계 차수열 틀:수학에 의해 유일하게 결정된다.
$a_{n} = a_{1} + Δ a_{1} + Δ a_{2} + \dots + Δ a_{n - 1} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} Δ a_{k}$

다만, 홀수열 틀:수학과 짝수열 틀:수학처럼, 일계 차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.

더 나아가, 수열은 모든 계수(0, 1, 2, ...)의 계차수열의 초항에 의해 다음과 같이 유일하게 결정된다.^[1]
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) Δ a_{1} + \frac{(n - 1) (n - 2)}{2} Δ^{2} a_{1} + \dots + Δ^{n - 1} a_{1} = \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{k}) Δ^{k} a_{1}$

여기서

(\binom{n - 1}{k})

는 틀:수학개의 대상 중에서 틀:Mvar 개를 고른 조합수이다.

틀:Mvar계 차수열의 일반항은 원래 수열의 항에 의해 다음과 같이 전개된다.
$Δ^{k} a_{n} = a_{n + k} - k a_{n + k - 1} + \frac{k (k - 1)}{2} a_{n + k - 2} + \dots + (- 1)^{k} a_{n} = \sum_{i = 0}^{k} (- 1)^{i} (\binom{k}{i}) a_{n + k - i}$
수열의 단조성은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 틀:수학이 단조증가할 필요충분조건은 틀:수학이 모든 틀:Mvar에게 성립하는 것이다. 수열 틀:수학이 단조감소할 필요충분조건은, 틀:수학이 모든 틀:Mvar에게 성립하는 것이다.
아벨 변환
슈톨츠-체사로 정리

틀:Mvar계 등차수열틀:수학은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

위의 예시 문단에서, 수열 틀:수학은 0계 등차수열이며, 그 수열을 계차수열로 하는 수열인 틀:수학은 1계 등차수열이다. 마찬가지로 틀:수학은 2계 등차수열, 틀:수학은 3계 등차수열이다.

어떤 수열 틀:수학이 틀:Mvar계 등차수열일 필요충분조건은, 일반항이 틀:Mvar에 대한 [[다항식|틀:Mvar차 다항식]]이라는 것이다.^[1]