조화 평균

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 조화 평균(調和平均)은 주어진 수들의 역수의 산술 평균의 역수를 말한다. 평균적인 변화율을 구할 때에 주로 사용된다. 실수 a₁, ..., a_n이 주어졌을 때, 조화 평균 H는

$H=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}}$

로 주어진다.

예

경우에 따라서 조화 평균이 정확한 평균치를 돌려준다. 예를 들어, 전체 거리의 절반을 40km/h의 속도로 달리고, 남은 절반을 60km/h로 달렸다면, 평균 속력은 40과 60의 조화 평균인 48km/h가 된다. 이동하는데 전체 거리를 48 km/h의 속력으로 달린 경우와 같은 시간이 걸렸기 때문이다. (만약 전체 "시간"의 절반씩을 달렸다면, 평균 속력은 산술 평균인 50km/h가 된다.)

두 수의 조화 평균

두 수가 주어졌을 때, 두 수의 조화 평균은 다음 식으로 간단히 정리된다.

$H=\frac{2a_1{a}_2}{a_1+a_2}.$

이때, 산술 평균

$A=\frac{a_1+a_2}{2}$

과 기하 평균

$G=\sqrt{a_1\cdot a_2}$

에 대해 조화 평균은

$H=\frac{G^2}{A}$

의 관계식이 성립한다.

같이 보기

• 멱평균
• 조화수
• 기하 평균
• 산술 평균