수심 (기하학)

수심

기하학에서 수심(垂心, 틀:Llang)은 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선이 공통으로 지나는 점이다.

정의

삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$, $B$, $C$를 지나는 대변 $BC$, $AC$, $AB$의 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 $ABC$의 수심 $H$라고 한다. 틀:증명 꼭짓점 $B$, $C$를 지나는 대변의 수선의 발을 $H_B$, $H_C$라고 하고, 두 수선 $B{H}_B$, $C{H}_C$의 교점을 $H$라고 하자. 그렇다면

$\mathrm{\angle }A{H}_{B}H=\mathrm{\angle }A{H}_{C}H=\mathrm{\angle }B{H}_{B}C=\mathrm{\angle }B{H}_{C}C=90^{\circ }$

이므로 $H_B$, $H_C$는 선분 $AH$를 지름으로 하는 원 위의 점이자 선분 $BC$를 지름으로 하는 원 위의 점이다. 특히 $A$, $H_B$, $H$, $H_C$는 한 원 위의 점이며, 점 $B$, $C$, $H_B$, $H_C$ 역시 한 원 위의 점이다. 원주각의 성질에 따라

$\mathrm{\angle }HAB=\mathrm{\angle }H{H}_B{H}_C=\mathrm{\angle }BC{H}_C$

이다. 따라서

$\mathrm{\angle }HAB+\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }BC{H}_C+\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }A{H}_{C}C=90^{\circ }$

이며, $AH$는 $BC$의 수선이다. 틀:증명 끝 틀:증명 정삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선은 대변의 수직 이등분선과 일치하며, 삼각형의 세 변의 수직 이등분선은 외심에서 만나므로, 정삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선은 한 점에서 만난다. 정삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 외심을 $O$, 무게 중심을 $G$, 변 $BC$의 중점을 $M_A$라고 하자. 그렇다면 $O\ne G$이다. 유향 선분 $OG$의 연장선 위에서 $GH=2OG$인 점 $H$를 잡자. 그렇다면 $G$는 선분 $A{M}_A$ 위의 점이며 $AG=2G{M}_A$, $\mathrm{\angle }AGH=\mathrm{\angle }{M}_{A}GO$이므로, 삼각형 $AGH$와 $M_{A}GO$는 닮음이다. 특히 $\mathrm{\angle }GAH=\mathrm{\angle }G{M}_{A}O$이므로 $AH$와 $O{M}_A$는 평행하며, $O{M}_A$는 $BC$의 수선이므로 $AH$ 역시 변 $BC$의 수선이다. 마찬가지로 $BH$, $CH$는 각각 변 $AC$, $AB$의 수선이다. 틀:증명 끝 틀:증명 꼭짓점 $A$, $B$, $C$를 지나는 대변의 수선의 발을 $H_A$, $H_B$, $H_C$라고 하자. 그렇다면 변 $AB$, $AC$를 지름으로 하는 두 원은 두 점 $A$, $H_A$에서 만나므로 두 원의 근축은 직선 $A{H}_A$이다. 마찬가지로, 변 $AB$와 $BC$를 지름으로 하는 두 원의 근축은 직선 $B{H}_B$이며, 변 $AC$, $BC$를 지름으로 하는 두 원의 근축은 직선 $C{H}_C$이다. 따라서 세 직선 $A{H}_A$, $B{H}_B$, $C{H}_C$는 세 원의 근심에서 만난다. 틀:증명 끝 틀:증명 꼭짓점 $A$, $B$, $C$를 지나는 대변의 수선의 발을 $H_A$, $H_B$, $H_C$라고 하자. 그렇다면

$\frac{A{H}_C}{H_{C}B}\cdot \frac{B{H}_A}{H_{A}C}\cdot \frac{C{H}_B}{H_{B}A}=\frac{b\cos A}{a\cos B}\cdot \frac{c\cos B}{b\cos C}\cdot \frac{a\cos C}{c\cos A}=1$

이므로 체바 정리에 따라 직선 $A{H}_A$, $B{H}_B$, $C{H}_C$는 한 점에서 만난다. 틀:증명 끝

성질

예각 삼각형의 수심은 삼각형의 내부에 속한다. 직각 삼각형의 수심은 직각의 꼭짓점이다. 둔각 삼각형의 수심은 삼각형의 외부에 속한다.

외접원과의 관계

삼각형의 수심과 한 꼭짓점 사이의 거리는 외심과 대변 사이의 거리의 2배이다.틀:Rp

삼각형 $ABC$의 수심 $H$를 각 변에 대하여 반사시킨 상은 외접원 위의 점이다. 즉, 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$를 지나는 대변의 수선의 발을 $H_A$, $H_B$, $H_C$라고 하고, 수선 $A{H}_A$, $B{H}_B$, $C{H}_C$의 연장선과 외접원의 교점을 ${H_A}^{\prime }$, ${H_B}^{\prime }$, ${H_C}^{\prime }$이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.틀:Rp

$H{H}_A=H_A{H_A}^{\prime }$

$H{H}_B=H_B{H_B}^{\prime }$

$H{H}_C=H_C{H_C}^{\prime }$

틀:증명 원주각의 성질에 따라

$\mathrm{\angle }{H_A}^{\prime }=\mathrm{\angle }C=90^{\circ }-\mathrm{\angle }HB{H}_A=\mathrm{\angle }BH{H_A}^{\prime }$

이므로 $BH=B{H_A}^{\prime }$이다. $B{H}_A$는 $H{H_A}^{\prime }$의 수선이므로 $H_A$는 선분 $H{H_A}^{\prime }$의 중점이다. 틀:증명 끝

삼각형의 외심은 중점 삼각형의 수심이다.

삼각형의 수심과 외심은 등각 켤레점이다.틀:Rp 삼각형 $ABC$의 수심을 $H$, 외심을 $O$라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.틀:Rp

$\mathrm{\angle }OAH=|\mathrm{\angle }ABC-\mathrm{\angle }ACB|$

$\mathrm{\angle }OBH=|\mathrm{\angle }BAC-\mathrm{\angle }ACB|$

$\mathrm{\angle }OCH=|\mathrm{\angle }BAC-\mathrm{\angle }ABC|$

틀:증명 점 $A$를 지나는 외접원의 지름을 $A{A}^{\prime }$이라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라

$\mathrm{\angle }OAC=90^{\circ }-\mathrm{\angle }A{A}^{\prime }C=90^{\circ }-\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }HAB$

이다. 따라서

$\mathrm{\angle }OAH=|\mathrm{\angle }BAC-\mathrm{\angle }HAB-\mathrm{\angle }OAC|=|\mathrm{\angle }BAC-2(90^{\circ }-\mathrm{\angle }B)|=|\mathrm{\angle }BAC+2\mathrm{\angle }B-(\mathrm{\angle }BAC+\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C)|=|\mathrm{\angle }B-\mathrm{\angle }C|$

이다. 틀:증명 끝

삼각형 $ABC$의 세 변의 길이를 $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, 반둘레를 $s$, 외접원의 반지름을 $R$, 내접원의 반지름을 $r$라고 하자. 그렇다면, 이 삼각형의 외심 $O$, 내심 $I$, 수심 $H$를 잇는 삼각형 $OIH$의 넓이는 다음과 같다.틀:Rp

$\begin{array}{cc}{S}_{OIH}& =2R^2\sin \frac{A-B}{2}\sin \frac{B-C}{2}\sin \frac{C-A}{2}\\ & =\frac{|a-b||b-c||c-a|}{8r}\\ & =\frac{\sqrt{-s^4+2s^2(2R^2+10Rr-r^2)-r(4R+r{)}^3}}{4}\end{array}$

수선

삼각형 $ABC$의 수심을 $H$라고 하고, 꼭짓점 $A$, $B$, $C$를 지나는 대변의 수선의 발을 $H_A$, $H_B$, $H_C$라고 하고, 외접원의 반지름을 $R$라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.틀:Rp

$A{H}_A=\frac{bc}{2R}=b\sin C=c\sin B$

$B{H}_B=\frac{ac}{2R}=a\sin C=c\sin A$

$C{H}_C=\frac{ab}{2R}=a\sin B=b\sin A$

삼각형 $ABC$의 수심을 $H$라고 하고, 꼭짓점 $A$, $B$, $C$를 지나는 대변의 수선의 발을 $H_A$, $H_B$, $H_C$라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.틀:Rp틀:Rp

$A{H}_A\cdot H{H}_A=B{H}_A\cdot C{H}_A$

$B{H}_B\cdot H{H}_B=A{H}_B\cdot C{H}_B$

$C{H}_C\cdot H{H}_C=A{H}_C\cdot B{H}_C$

$AH\cdot H{H}_A=BH\cdot H{H}_B=CH\cdot H{H}_C$

틀:증명 수선 $A{H}_A$의 연장선과 외접원의 교점을 ${H_A}^{\prime }$이라고 하자. 그렇다면 점 $H_A$를 지나는 외접원의 두 현 $A{H_A}^{\prime }$, $BC$에 대한 방멱 정리에 따라

$A{H}_A\cdot H{H}_A=A{H}_A\cdot H_A{H_A}^{\prime }=B{H}_A\cdot C{H}_A$

이다.

점 $A$, $B$, $H_A$, $H_B$는 한 원 위의 점이므로, 점 $H$를 지나는 두 현 $A{H}_A$와 $B{H}_B$에 대한 방멱 정리에 따라

$AH\cdot H{H}_A=BH\cdot H{H}_B$

이다. 틀:증명 끝

마지막 등식에 따라, 삼각형 $ABC$의 두 체바 선분을 지름으로 하는 비(非)동심원의 근축은 수심 $H$를 지난다.틀:Rp 삼각형 $ABC$의 세 체바 선분을 지름으로 하는 비(非)동축원의 근심은 수심 $H$이다.틀:Rp 삼각형 $ABC$ 및 직선 $BC$, $AC$, $AB$ 위의 점 $D$, $E$, $F$가 주어졌다고 하자. 만약 $D$, $E$, $F$가 한 직선 위의 점이라면, 4개의 삼각형 $ABC$, $AEF$, $BDF$, $CDE$의 수심은 한 직선 위의 점이며, 체바 선분 $AD$, $BE$, $CF$를 지름으로 하는 세 원은 4개의 수심을 지나는 직선을 근축으로 하는 동축원이다.틀:Rp

오일러 직선과 구점원

틀:본문 삼각형 $ABC$의 수심 $H$, 무게 중심 $G$, 외심 $O$는 한 직선 위의 점이며, 다음이 성립한다.

$\overrightarrow{GH}=2\overrightarrow{OG}$

만약 삼각형 $ABC$가 정삼각형이라면, $H=G=O$이다. 만약 삼각형 $ABC$가 정삼각형이 아니라면, 수심 $H$, 무게 중심 $G$, 외심 $O$를 지나는 직선은 유일하게 존재하며, 이 직선을 삼각형 $ABC$의 오일러 직선이라고 한다.

삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$, $B$, $C$를 지나는 대변의 수선의 발 $H_A$, $H_B$, $H_C$, 변 $BC$, $AC$, $AB$의 중점 $M_A$, $M_B$, $M_C$, 각 꼭짓점과 수심을 잇는 선분 $A{H}_A$, $B{H}_B$, $C{H}_C$의 중점은 한 원 위의 점이며, 이들 9개의 점을 지나는 이 원을 구점원이라고 한다. 특히 구점원은 수심 삼각형과 중점 삼각형의 공통 외접원이다.

삼각형 $ABC$의 구점원의 중심 $N$은 무게 중심과 외심을 잇는 선분 $OG$의 중점이다. 특히 삼각형 $ABC$가 정삼각형이 아닐 경우 구점원의 중심 $N$은 오일러 직선 위의 점이다. 구점원은 수심과 외접원 위의 점을 잇는 선분의 중점의 자취이다.

삼각형 $ABC$ 및 외접원 위의 점 $P$가 주어졌다고 하자. 점 $P$와 수심 $H$를 잇는 선분 $PH$의 중점은 삼각형 $ABC$에 대한 점 $P$의 심슨 직선 위의 점이자 구점원 위의 점이다.틀:Rp 특히 점 $P$를 각 변 $BC$, $AC$, $AB$에 대하여 반사시킨 상을 지나는 직선은 수심 $H$를 지난다.틀:Rp 틀:증명 꼭짓점 $A$를 지나는 외접원의 지름을 $A{A}^{\prime }$이라고 하자. 편의상 삼각형 $ABC$가 예각 삼각형이며 $P$가 호 $B{A}^{\prime }$ 위의 점이라고 가정하자. 점 $P$를 지나는 변 $BC$, $AC$, $AB$의 수선의 발을 $D$, $E$, $F$라고 하고, 점 $P$를 변 $BC$, $AC$, $AB$에 대하여 반사시킨 상을 $D^{\prime }$, $E^{\prime }$, $F^{\prime }$이라고 하자.

우선 선분 $PH$의 중점이 $P$의 심슨 직선 위의 점임을 증명하자. $H{E}^{\prime }$과 $DE$가 평행함을 보이는 것으로 충분하다. 유향 선분 $BH$의 연장선과 $AC$ 및 외접원의 교점을 $H_B$, ${H_B}^{\prime }$이라고 하자. 그렇다면 수심의 성질에 따라 $H{H}_B=H_B{H_B}^{\prime }$이다. 선분 $P{H_B}^{\prime }$과 $AC$의 교점을 $Q$라고 하자. 그렇다면 점 $P$, $Q$, ${H_B}^{\prime }$을 직선 $AC$에 대하여 반사시킨 상은 각각 $H$, $Q$, $E^{\prime }$이므로, $Q$는 선분 $H{E}^{\prime }$ 위의 점이다. $P{E}^{\prime }$과 $H{H_B}^{\prime }$은 평행하며, $C$, $E$, $D$, $P$는 한 원 위의 점이므로, 엇각 및 원주각의 성질에 따라

$\mathrm{\angle }P{E}^{\prime }H=\mathrm{\angle }{E}^{\prime }PQ=\mathrm{\angle }P{H_B}^{\prime }B=\mathrm{\angle }PCB=\mathrm{\angle }PED$

이다. 따라서 $H{E}^{\prime }$과 $DE$는 평행한다.

이제 선분 $PH$의 중점이 구점원 위의 점임을 증명하자. 수심 $H$를 닮음 중심으로 하고 1/2를 닮음비로 하는 중심 닮음 변환을 생각하자. 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에 이 변환을 가한 상은 각각 선분 $AH$, $BH$, $CH$의 중점이며, 이는 구점원 위의 세 점이므로, 외접원에 이 변환을 가한 상은 구점원이다. 선분 $PH$의 중점은 외접원 위의 점 $P$에 이 변환을 가한 상이므로 구점원 위의 점이다. 틀:증명 끝

삼각형의 키페르트 포물선(틀:Llang)의 준선은 오일러 직선이다.틀:Rp 삼각형의 모든 내접 포물선의 준선은 수심을 지난다.틀:Rp

수심 삼각형

직각 삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$를 지나는 대변의 수선의 발 $H_A$, $H_B$, $H_C$를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 $ABC$의 수심 삼각형(垂心三角形, 틀:Llang) $H_A{H}_B{H}_C$라고 한다. 즉, 수심 삼각형은 수심의 수족 삼각형이자 수심의 체바 삼각형이다. 직각 삼각형의 수심은 빗변의 꼭짓점이며, 특히 이는 외접원 위의 점이므로, 수심 삼각형이 정의되지 않는다.

예각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 내심이며,틀:Rp 둔각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 방심이다.틀:Rp 즉, 직각 삼각형이 아닌 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 수선과 각 변은 수심 삼각형의 내각 또는 외각 이등분선이다. 즉, 수심계 속 네 점은 수심 삼각형의 내심과 세 방심이며, 수심계 속 두 점을 잇는 6개의 직선은 수심 삼각형의 3개의 내각 이등분선 및 3개의 외각 이등분선이다. 틀:증명 편의상 삼각형 $ABC$가 예각 삼각형이라고 하자. 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에서 대변에 내린 수선의 발을 $H_A$, $H_B$, $H_C$라고 하고, 수심을 $H$라고 하자. 그렇다면 사각형 $C{H}_{A}H{H}_B$, $BC{H}_B{H}_C$, $B{H}_{C}H{H}_A$는 모두 내접 사각형이므로

$\mathrm{\angle }A{H}_A{H}_B=\mathrm{\angle }{H}_{B}C{H}_C=\mathrm{\angle }{H}_{B}B{H}_C=\mathrm{\angle }A{H}_A{H}_C$

이다. 따라서, $A{H}_A$는 삼각형 $H_A{H}_B{H}_C$의 $H_A$에서의 내각 이등분선이며, $BC$는 삼각형 $H_A{H}_B{H}_C$의 $H_A$에서의 외각 이등분선이다. 틀:증명 끝

파냐노 문제

삼각형 $ABC$의 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$를 지나는 대변의 수선의 발을 $H_A$, $H_B$, $H_C$라고 하자. 만약 삼각형 $ABC$가 예각 삼각형이라면, 최소 둘레의 내접 삼각형은 수심 삼각형 $H_A{H}_B{H}_C$이다. 이를 파냐노 문제(틀:Llang)라고 한다. 만약 삼각형 $ABC$가 직각 삼각형 또는 둔각 삼각형이며, 직각 또는 둔각의 꼭짓점이 $A$라면, 최소 둘레의 내접 삼각형은 퇴화 삼각형 $AA{H}_A$이다 (두 꼭짓점이 같은 삼각형을 허용하지 않을 경우 존재하지 않는다).틀:Rp틀:Rp 틀:증명 편의상 $\mathrm{\angle }ABC$와 $\mathrm{\angle }ACB$가 예각이라고 하자. $D$가 변 $BC$ 위의 고정된 점이라고 하고, $D^{\prime }$, $D^{″}$이 각각 점 $P$를 변 $AB$, $AC$에 대하여 반사시킨 상이라고 하자. 그렇다면

$\mathrm{\angle }{D}^{\prime }A{D}^{″}=\mathrm{\angle }{D}^{\prime }AB+\mathrm{\angle }BAC+\mathrm{\angle }CA{D}^{″}=\mathrm{\angle }DAB+\mathrm{\angle }BAC+\mathrm{\angle }CAD=2\mathrm{\angle }BAC$

이며, 변 $AB$, $AC$ 위의 점 $E$, $F$에 대하여, 삼각형 $DEF$의 둘레는

$p_{DEF}=DE+EF+FD=D^{\prime }E+EF+F{D}^{″}$

이다.

만약 $\mathrm{\angle }BAC<90^{\circ }$라면, $\mathrm{\angle }{D}^{\prime }A{D}^{″}<180^{\circ }$이므로 선분 $D^{\prime }{D}^{″}$은 변 $AB$, $AC$와 교점 $E_D$, $F_D$를 갖는다. 고정된 점 $D$에 대하여, 이 두 점 $E_D$, $F_D$는 삼각형 $DEF$의 둘레를 최소로 만들며, 그 최소 둘레는

$p_{D{E}_D{F}_D}=D^{\prime }{D}^{″}=2A{D}^{\prime }\cos \mathrm{\angle }A{D}^{\prime }{D}^{″}=2AD\cos ((180^{\circ }-\mathrm{\angle }{D}^{\prime }A{D}^{″})/2)=2AD\cos (90^{\circ }-\mathrm{\angle }BAC)=2AD\sin A$

이다. 따라서 최소 둘레 $p_{D{E}_D{F}_D}$를 가장 작게 만드는 점 $D$는 선분 $AD$의 길이를 가장 작게 만드는 점 $H_A$이다.

만약 $\mathrm{\angle }BAC\ge 90^{\circ }$라면, $\mathrm{\angle }{D}^{\prime }A{D}^{″}\ge 180^{\circ }$이므로 선분 $D^{\prime }{D}^{″}$은 변 $AB$, $AC$와 교점을 갖지 않는다. 변 $AB$, $AC$ 위의 점 $E$, $F$에 대하여, 유향 선분 $D^{\prime }A$의 연장선과 선분 $D^{″}F$의 교점을 $A^{\prime }$이라고 하자. 그렇다면

$p_{DEF}=D^{\prime }E+EF+F{D}^{″}\ge D^{\prime }F+F{D}^{″}\ge D^{\prime }{A}^{\prime }+A^{\prime }{D}^{″}\ge D^{\prime }A+A{D}^{″}$

이다. 따라서 고정된 점 $D$에 대하여, 둘레 $p_{DEF}$를 가장 작게 만드는 두 점 $E$, $F$는 $A$, $A$이다. 이 경우 최소 둘레는

$p_{DAA}=2AD$

이며, 이를 가장 작게 만드는 점 $D$는 점 $H_A$이다. 틀:증명 끝 틀:증명 예각 삼각형 $ABC$와 내접 삼각형 $DEF$가 주어졌다고 하자 ($D$, $E$, $F$는 변 $BC$, $AC$, $AB$ 위의 점이다). 이를 차례로 직선 $AC$, $C_1{B}_1$, $B_2{A}_2$, $A_3{C}_3$, $C_4{B}_4$에 대하여 반사시켜 삼각형 $A_1{B}_1{C}_1$와 내접 삼각형 $D_1{E}_1{F}_1$, 삼각형 $A_2{B}_2{C}_2$와 내접 삼각형 $D_2{E}_2{F}_2$, 삼각형 $A_3{B}_3{C}_3$와 내접 삼각형 $D_3{E}_3{F}_3$, 삼각형 $A_4{B}_4{C}_4$와 내접 삼각형 $D_4{E}_4{F}_4$, 삼각형 $A_5{B}_5{C}_5$와 내접 삼각형 $D_5{E}_5{F}_5$를 얻는다고 하자. 그렇다면 선분 $A_5{B}_5$는 선분 $AB$를 평행 이동시킨 상이다. 벡터 $\overrightarrow{F{F}_5}$는 이에 대응하는 평행 이동 벡터이므로 내접 삼각형 $DEF$의 선택과 무관하다. 꺾인 선 $F{E}_1{D}_2{F}_3{E}_4{D}_5{F}_5$는 내접 삼각형 $DEF$의 둘레의 2배를 길이로 하며, 이 꺾인 선이 직선이 될 필요 충분 조건은 삼각형 $DEF$가 수심 삼각형 $H_A{H}_B{H}_C$라는 것이다. 따라서 예각 삼각형 $ABC$의 최소 둘레의 내접 삼각형은 수심 삼각형 $H_A{H}_B{H}_C$이다. 틀:증명 끝

수심축

삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에서 대변에 내린 수선의 발을 $H_A$, $H_B$, $H_C$라고 하고, 직선 $H_B{H}_C$와 $BC$의 교점을 $D$, 직선 $H_A{H}_C$와 $AC$의 교점을 $E$, 직선 $H_A{H}_B$와 $AB$의 교점을 $F$라고 하자. 그렇다면 $D$, $E$, $F$는 한 직선 위의 점이다. 이 직선을 삼각형 $ABC$의 수심축(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp 틀:증명 편의상 삼각형 $ABC$가 예각 삼각형이라고 하자. 그렇다면 각 변 $BC$, $AC$, $AB$는 수심 삼각형 $H_A{H}_B{H}_C$의 외각 이등분선이다. 따라서

$\frac{H_{A}F}{F{H}_B}\cdot \frac{H_{B}D}{D{H}_C}\cdot \frac{H_{C}E}{E{H}_A}=-\frac{H_A{H}_C}{H_B{H}_C}\cdot \frac{H_A{H}_B}{H_A{H}_C}\cdot \frac{H_B{H}_C}{H_A{H}_B}=-1$

이며, 메넬라오스 정리에 따라 점 $D$, $E$, $F$는 공선점이다. 틀:증명 끝

수심계

평면 위의 세 점 $A$, $B$, $C$가 주어졌다고 하자. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이라면, 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 존재하지 않는다. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이 아니며 삼각형 $ABC$가 직각 삼각형이라면, 수심 $H$는 직각의 꼭짓점과 일치한다. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이 아니며 삼각형 $ABC$가 직각 삼각형이 아니라면, $A$, $B$, $C$와 수심 $H$는 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않으며, $A$, $B$, $C$ 역시 각각 삼각형 $BCH$, $ACH$, $ABH$의 수심이다. 이 경우 네 점 $A$, $B$, $C$, $H$가 수심계(垂心系, 틀:Llang)를 이룬다고 한다.틀:Rp 수심계 속 네 점의 지위는 동등하다. 즉, 네 점이 수심계를 이루는지 여부는 네 점의 순서와 무관하다. 틀:증명 점 $H$가 삼각형 $ABC$의 수심인 것은 직선 $AH$, $BH$, $CH$는 각각 직선 $BC$, $AC$, $AB$의 수선인 것과 동치이다. 이는 점 $A$, $B$, $C$, $H$ 가운데 임의의 두 점을 잇는 직선이 남은 두 점을 잇는 직선의 수선인 것과 동치이며, 따라서 이 조건에서 네 점 $A$, $B$, $C$, $H$의 순서를 바꿔도 이 조건은 변하지 않는다. 즉, 점 $H$ 대신 남은 세 점 $A$, $B$, $C$ 가운데 하나를 수심으로 삼아도 원래 조건과 동치이다. 틀:증명 끝

수심계 $A$, $B$, $C$, $H$ 속 네 삼각형 $ABC$, $ABH$, $ACH$, $BCH$의 수심 삼각형과 구점원은 일치하며, 외접원의 반지름은 같다. 또한 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 한 점에서 만난다. 틀:증명 네 점 $A$, $B$, $C$, $H$가 각각 3가지 방식으로 둘씩 짝을 지어 만든 두 직선 $AH$와 $BC$, $BH$와 $AC$, $CH$와 $AB$의 교점을 $H_A$, $H_B$, $H_C$라고 하자. 그렇다면 삼각형 $H_A{H}_B{H}_C$는 네 삼각형의 공통 수심 삼각형이다. 따라서 수심계 속 네 삼각형의 공통 수심 삼각형의 외접원은 네 삼각형의 공통 구점원이다. 네 삼각형의 외접원의 반지름은 공통 구점원의 반지름의 2배이며, 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 공통 구점원의 중심을 지난다. 틀:증명 끝

드로츠파르니 직선

삼각형 $ABC$의 수심 $H$에서 직교하는 두 직선이 직선 $BC$와 점 $D_1$, $D_2$에서, 직선 $AC$와 점 $E_1$, $E_2$에서, 직선 $AB$와 점 $F_1$, $F_2$에서 만난다고 하자. 그렇다면 선분 $D_1{D}_2$, $E_1{E}_2$, $F_1{F}_2$의 중점 $D$, $E$, $F$는 한 직선 위의 점이다. 이 직선을 삼각형 $ABC$의 드로츠파르니 직선(틀:Llang)이라고 한다.

테일러 원

삼각형 $ABC$의 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$를 지나는 대변의 수선의 발을 $H_A$, $H_B$, $H_C$라고 하고, 발 $H_A$, $H_B$, $H_C$을 지나는 변 $AB$와 $AC$, $BC$와 $AB$, $AC$와 $BC$의 수선의 발을 각각 $P$와 $Q$, $R$와 $S$, $T$와 $U$라고 하자. 그렇다면 6개의 점 $P$와 $Q$, $R$, $S$, $T$, $U$는 한 원 위의 점이다. 이 원을 삼각형 $ABC$의 테일러 원(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp 테일러 원은 터커 원의 특수한 경우이다. 틀:증명 편의상 삼각형 $ABC$가 예각 삼각형이라고 하자. 삼각형 $ABC$의 내접 비단순 육각형 $PQRSTU$가 터커 원의 조건을 만족시킴을 보이는 것으로 충분하다. 대칭성에 따라 $PQ$와 $ST$가 각각 $BC$의 반평행선과 평행선임을 보이면 된다.

우선 $PQ$와 $BC$가 반평행함을 증명하자. 사각형 $APDQ$가 내접 사각형이므로 원주각의 성질에 따라

$\mathrm{\angle }APQ=\mathrm{\angle }ADQ=90^{\circ }-\mathrm{\angle }DAC=\mathrm{\angle }ACB$

이므로 $PQ$는 반평행선이다.

이제 $ST$가 $BC$와 평행함을 증명하자. $RS$와 $TU$가 반평행선이므로

$\mathrm{\angle }SRU=\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }TUR$

이다. 따라서 $RS=TU$임을 보이는 것으로 충분하며, 이는 $PQ=RS=TU$를 보이면 된다. 삼각법에 따라

$PD=c\cos B\sin B=2R_0\sin B\sin C\cos B$

$QD=b\cos C\sin C=2R_0\sin B\sin C\cos C$

$\mathrm{\angle }PDQ=180^{\circ }-A$

이다. 여기서 $R_0$은 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름이다. 사인 법칙에 따라 세 내각의 크기가 $180^{\circ }-A$, $90^{\circ }-B$, $90^{\circ }-C$인 삼각형의 세 변의 길이의 비는 $\sin A:\cos B:\cos C$이므로, 코사인 법칙에 따라

${\sin }^{2}A={\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C+2\cos B\cos C\cos A$

이다. 이제 삼각형 $PDQ$에 코사인 법칙을 적용하면 다음을 얻는다.

$\begin{array}{cc}P{Q}^2& =P{D}^2+Q{D}^2+2\cdot PD\cdot QD\cdot \cos A\\ & =4R_0^2{\sin }^{2}B{\sin }^{2}C({\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C+2\cos B\cos C\cos A)\\ & =4R_0^2{\sin }^{2}A{\sin }^{2}B{\sin }^{2}C\end{array}$

이는 3개의 반평행선에서 $PQ$를 선택한 것과 무관하다. 틀:증명 끝

외부 링크

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