등각 켤레점

등각 켤레점

등각 켤레점을 취하는 변환

기하학에서 등각 켤레점(等角-點, 틀:Llang)은 주어진 점과 주어진 삼각형의 각 꼭짓점을 잇는 직선을 삼각형의 각 내각 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선들의 교점이다.

정의

삼각형 $ABC$의 한 꼭짓점 $A$ (또는 $B$ 또는 $C$)를 지나는 직선의 등각 켤레선(等角-線, 틀:Llang)은 그 직선을 내각 $\mathrm{\angle }A$ (또는 $\mathrm{\angle }B$ 또는 $\mathrm{\angle }C$)의 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선이다. 등각 켤레선의 등각 켤레선은 자기 자신이므로, 두 직선이 서로 등각 켤레선이라고 하기도 한다. 즉, 삼각형 $ABC$의 한 꼭짓점 $A$를 지나는 등각 켤레선은 다음 두 조건을 만족시키는 두 직선 $AP$와 $AQ$를 뜻한다.

• 둘 다 삼각형의 내부를 지나거나, 둘 다 삼각형의 내부를 지나지 않는다.
• $\mathrm{\angle }PAB=\mathrm{\angle }QAC$ (즉, $\mathrm{\angle }PAC=\mathrm{\angle }QAB$)

삼각형 $ABC$ 및 같은 평면 위의 점 $P$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 세 직선 $AP$, $BP$, $CP$의 등각 켤레선은 한 점 $P^{\prime }$에서 만난다. 이 점을 삼각형 $ABC$에 대한 점 $P$의 등각 켤레점이라고 한다. 등각 켤레점의 등각 켤레점은 자기 자신이므로, 두 점 $P$와 $P^{\prime }$이 서로 등각 켤레점이라고 하기도 한다. 틀:증명 AP, BP, CP와 BC, CA, AB의 교점을 D, E, F라 하고, AP, BP, CP를 각각 각 A, B, C에 대해 각대칭시킨 세 직선과 BC, CA, AB의 교점을 D', E' F'이라 하자. 삼각형 ABC와 점 P에 대해 각체바 정리를 쓰면,

$\frac{sin\mathrm{\angle }BAD}{sin\mathrm{\angle }CAD}*\frac{sin\mathrm{\angle }CBE}{sin\mathrm{\angle }ABE}*\frac{sin\mathrm{\angle }ACF}{sin\mathrm{\angle }BCF}=1$

AD, BE, CF와 AD', BE', CF'은 각대칭이므로 다음이 성립한다.

$\frac{sin\mathrm{\angle }CA{D}^{\prime }}{sin\mathrm{\angle }BA{D}^{\prime }}*\frac{sin\mathrm{\angle }AB{E}^{\prime }}{sin\mathrm{\angle }CB{E}^{\prime }}*\frac{sin\mathrm{\angle }BC{F}^{\prime }}{sin\mathrm{\angle }AC{F}^{\prime }}=1$

따라서 각체바 정리의 역에 의해 AD', BE', CF'은 한 점 Q에서 만난다. 틀:증명 끝

성질

삼각형 $ABC$에 대한 등각 켤레점 $P$와 $P^{\prime }$이 주어졌다고 하자. 점 $P$를 삼각형의 각 변 $BC$, $CA$, $AB$에 반사시켜 얻는 점을 $X$, $Y$, $Z$라고 하자. 그렇다면 삼각형 $XYZ$의 외심은 $P^{\prime }$이다.

등각 켤레점의 수족 삼각형의 외접원은 일치하며, 그 중심은 두 등각 켤레점의 중점이다. 즉, 삼각형 $ABC$ 및 등각 켤레점 $P$와 $P^{\prime }$가 주어졌다고 하자. 점 $P$에서 세 변 $BC$, $CA$, $AB$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라고 하고, 점 $P^{\prime }$에서 세 변 $BC$, $CA$, $AB$에 내린 수선의 발을 각각 $D^{\prime }$, $E^{\prime }$, $F^{\prime }$라고 하자. 그렇다면 두 수족 삼각형의 6개의 꼭짓점 $D$, $E$, $F$, $D^{\prime }$, $E^{\prime }$, $F^{\prime }$은 $P$와 $P^{\prime }$의 중점 $M$을 중심으로 하는 원 위의 점이다.틀:Rp 틀:증명 대칭성에 따라 $F^{\prime }$, $F$, $E$, $E^{\prime }$이 $M$을 중심으로 하는 원 위의 점임을 증명하는 것으로 충분하다. 직선 $AP$와 $E^{\prime }{F}^{\prime }$의 교점을 $Q$라고 하자. $A$, $E^{\prime }$, $P^{\prime }$, $F^{\prime }$은 한 원 위의 점이므로

$\mathrm{\angle }{F}^{\prime }AQ=\mathrm{\angle }{E}^{\prime }A{P}^{\prime }=\mathrm{\angle }{E}^{\prime }{F}^{\prime }{P}^{\prime }$

이다. 따라서 직선 $AQ$는 $E^{\prime }{F}^{\prime }$의 수선이며, 삼각형 $AFP$와 $AQ{F}^{\prime }$, 삼각형 $AEP$와 $AQ{E}^{\prime }$은 닮음이다. 따라서

$AF\cdot A{F}^{\prime }=AP\cdot AQ=AE\cdot A{E}^{\prime }$

이며, 방멱의 성질에 따라 $F^{\prime }$, $F$, $E$, $E^{\prime }$은 한 원 위의 점이다. $M$은 선분 $P{P}^{\prime }$의 중점이며 직선 $PF$와 $P^{\prime }{F}^{\prime }$, 직선 $PE$와 $P^{\prime }{E}^{\prime }$은 평행하므로 $M$은 선분 $F{F}^{\prime }$과 $E{E}^{\prime }$의 수직 이등분선의 교점이다. 즉, $M$은 네 점 $F^{\prime }$, $F$, $E$, $E^{\prime }$을 지나는 원의 중심이다. 틀:증명 끝

드로츠파르니 원

삼각형 $ABC$ 및 등각 켤레점 $P$와 $P^{\prime }$가 주어졌다고 하자. 점 $P$를 지나는 변 $BC$, $CA$, $AB$의 수선의 발을 $D$, $E$, $F$라고 하고, 점 $P^{\prime }$을 지나는 변 $BC$, $CA$, $AB$의 수선의 발을 $D^{\prime }$, $E^{\prime }$, $F^{\prime }$라고 하자. 점 $D$, $E$, $F$를 중심으로 하고 점 $P^{\prime }$을 지나는 원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 각각 두 점 $U$와 $V$, $W$과 $X$, $Y$과 $Z$에서 만난다고 하자. 마찬가지로 점 $D^{\prime }$, $E^{\prime }$, $F^{\prime }$를 중심으로 하고 점 $P$을 지나는 원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 각각 두 점 $U^{\prime }$와 $V^{\prime }$, $W^{\prime }$과 $X^{\prime }$, $Y^{\prime }$과 $Z^{\prime }$에서 만난다고 하자. 그렇다면 6개의 점 $U$, $V$, $W$, $X$, $Y$, $Z$는 점 $P$를 중심으로 하는 한 원 위의 점이며, 다른 6개의 점 $U^{\prime }$, $V^{\prime }$, $W^{\prime }$, $X^{\prime }$, $Y^{\prime }$, $Z^{\prime }$은 점 $P^{\prime }$을 중심으로 하는 한 원 위의 점이다. 또한 이 두 원의 반지름은 같다. 이 두 원을 등각 켤레점 $P$와 $P^{\prime }$의 드로츠파르니 원(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp 틀:증명 점 $P$와 $P^{\prime }$의 중점을 $M$이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}P{U}^2& =P{D}^2+D{U}^2\\ & =P{D}^2+{D{P}^{\prime }}^2\\ & =(P{M}^2+D{M}^2-2PM\cdot DM\cdot \cos \mathrm{\angle }PMD)+(P^{\prime }{M}^2+D{M}^2-2\cdot P^{\prime }M\cdot DM\cdot \cos \mathrm{\angle }{P}^{\prime }MD)\\ & =\frac{1}{2}{P{P}^{\prime }}^2+2D{M}^2\end{array}$

첫째 등호는 피타고라스 정리, 둘째 등호는 점 $U$의 정의, 셋째 등호는 코사인 법칙에 따른다. $DM$은 점 $P$와 $P^{\prime }$의 수족 삼각형의 공통 외접원의 반지름이므로, 점 $P$와 $P^{\prime }$에만 의존한다. 따라서 $PU$는 점 $P$와 $P^{\prime }$에만 의존하며, $U$를 남은 5개의 점 가운데 하나로 대체하여도 결과는 같다. 틀:증명 끝

예

다음과 같은 두 점의 쌍들은 등각 켤레점이다.

• 외심과 수심틀:Rp
• 내심과 자기 자신
• 무게 중심과 대칭 중점틀:Rp

같이 보기

• 삼각형의 중심

외부 링크

• 틀:매스월드
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